Espacios de módulos de haces vectoriales y condiciones de estabilidad

Question

Dejemos que $C$ sea una curva algebraica. Uno de los ejemplos más sencillos de funciones de estabilidad es

$$Z:Coh(C)/ \{ 0 \} \rightarrow \overline{\mathbb{H}};\ \ \ \ Z(E):=-deg(E)+i\cdot rk(E).$$

Esto induce el clásico $\mu$ -en haces vectoriales de un rango determinado en $C$ . Me pregunto qué pasa si se modifica esto, por ejemplo poniendo $-a\cdot deg(E)+bi\cdot rk(E)$ para las constantes apropiadas $a,b$ . ¿El espacio de módulos correspondiente se deforma (bipartidamente?) de alguna manera? o cambia por completo?

Answer 1

Sin repasar todos los detalles antes de desayunar, me arriesgaré a decir lo siguiente: para $a$ , $b$ cercano a 1, se obtendrá un espacio de módulos idéntico por la razón de que la estabilidad es una condición abierta. En otras palabras, se puede cambiar un poco la condición de estabilidad de las TIG sin cambiar qué poleas son estables.

En general, este tipo de cambio en la condición de estabilidad va bajo el título de "variación del cociente GIT". Creo que el documento relevante que hay que mirar es:

Teoría de invariantes geométricos y volteos por Michael Thaddeus

Answer 2

Primero : No sé cómo construir una estructura de "espacio de módulos" en el conjunto de objetos semi-estables para una condición de estabilidad que ya no es una condición de estabilidad GIT (precisamente porque entonces no tengo ninguna construcción GIT).

Sin embargo, la pregunta tiene también un sentido para el conjunto de objetos semi-estables. La imagen general es la siguiente. Cuando se modifica ligeramente una condición de estabilidad genérica, el conjunto de objetos semi-estables no cambia. Pero hay algún Pero hay un lugar excepcional en el "espacio de la condición de estabilidad" (en el sentido de Bridgeland) tal que al pasarlo, el conjunto de objetos semiestables cambia completamente ("fenómeno de cruce de muros").

Para un ejemplo concreto en el ejemplo del espíritu, se puede considerar Coh(P^1) y mirar las diversas condiciones de estabilidad de la forma u deg(E) + v rk(E), u,v en el medio plano superior más la media línea real negativa. De hecho, como no recuerdo el resultado preciso, considera Rep(Q) la categoría de la representación del carcaj Q con dos vértices unidos por dos flechas (en la misma dirección). En Rep(Q), tenemos U de dimensión vectorial (1,0) y V de dimensión vectorial (0,1). Consideremos la condición de estabilidad en Rep(Q) de la forma W -> u w1 + v w2 donde (w1, w2) es la dimensión vectorial de W. Entonces, se puede demostrar que todo depende de la posición relativa de u y v en el semiplano superior (más precisamente : del signo del ángulo entre u y v). En un caso, hay un número infinito de objetos semi-estables, en el otro caso, hay un número finito de objetos semi-estables. El caso de Coh(P^1) es casi el mismo (de hecho Coh(P^1) y Rep(Q) tienen la misma categoría derivada) : hay dos casos, uno con objetos semi-estables infinitos, el otro con objetos semi-estables finitos.

Creo que entre las curvas proyectivas, tenemos tal fenómeno de cruce de paredes sólo para la línea proyectiva P^{1}. En los géneros más altos no hay tal cambio (el cálculo de la espacio de la condición de estabilidad para las curvas: Bridgeland, Macri, Okada).

Último comentario : en dimensión superior la condición de estabilidad "estándar" = GIT no es una condición de estabilidad en el sentido de Bridgeland y no sé cómo responder al análogo de la pregunta en este caso.