Cálculo de la cohomología de De - Rham mediante las secuencias de Mayer - Vietoris

Question

¿Cómo podemos demostrarlo?

$b_1(\mathbb{RP^3})=b_1(\mathbb{RP^2})$ y $b_2(\mathbb{RP^3})=b_2(\mathbb{RP^2})$

Creo que es sólo el uso repetido de repliegues de deformación, y el Lemma de Poincare para encajar las piezas correctas a la Secuencia Mayer - Vietoris, pero todavía soy bastante débil en el cálculo de los números de Betti para una clase de cohomología específica. ¿Puede alguien mostrarme cómo se puede demostrar que lo anterior es igual a lo anterior?

EDITAR: $b_k(M)$ es el $k^{\text{th}}$ Número de Betti de un $n$ - colector dimensional $M$ et $\mathbb{RP^n}$ es el espacio proyectivo real de dimensión $n$ .

Mis pensamientos: Si configuramos la secuencia larga exacta tenemos:

$$0\rightarrow H_{dR}^0(\mathbb{RP}^3)\rightarrow H_{dR}^0(U) \oplus H_{dR}^0(V)\rightarrow H_{dR}^0(V\cap U)\rightarrow H_{dR}^1(\mathbb{RP}^3)\rightarrow H_{dR}^1(U) \oplus H_{dR}^1(V)\rightarrow H_{dR}^1(V\cap U)\rightarrow H_{dR}^2(\mathbb{RP}^3)\rightarrow H_{dR}^2(U) \oplus H_{dR}^2(V)\rightarrow H_{dR}^2(V\cap U)\rightarrow $$ $$ H_{dR}^3(\mathbb{RP}^3)\rightarrow H_{dR}^3(U) \oplus H_{dR}^3(V)\rightarrow ...$$

Ahora bien, asumiendo que la secuencia anterior es exacta, lo que me cuesta ver es, los valores exactos de las dimensiones para las clases de Cohomología de los conjuntos abiertos $U$ y $V,$ donde he definido los conjuntos abiertos $U$ como el espacio proyectivo real de dimensión tres excluyendo algún punto $x,$ y $V$ es un $3 $ - esfera dimensional que contiene el punto $x$ . Realmente parece confuso encontrar el $H_{dR}^k(U\cup V)$ y $H_{dR}^k(U \cap V)$ , para $k = 1, 2 ,3.$

Answer 1

El espacio proyectivo real no es un espacio abstracto, y puedes obtener todo lo que necesitas saber sobre la cohomología del espacio de, por ejemplo https://topospaces.subwiki.org/wiki/Cohomology_of_real_projective_space .

El cálculo propiamente dicho se encuentra en casi todas partes, véase por ejemplo Grupo de homología del plano proyectivo real donde la primera respuesta es una bonita demostración de cómo calcular la homología utilizando la secuencia de Mayer-Vietoris. Tras conocer la homología del espacio, podemos obtener la cohomología a partir del teorema del coeficiente universal. (O simplemente podemos modificar el cálculo para calcular el grupo de cohomología directamente). Véase también, por ejemplo, el libro de Hatcher para el cálculo utilizando la (co)homología celular.

Answer 2

$\mathbb{R} P^3$ es el cociente de $S^3$ por el mapa antipodal $x\mapsto -x$ . Elija un punto $x\in S^3$ y considerar $S^2\subset S^3$ como el ecuador con respecto a los polos $x$ y $-x$ . Consideremos los dos subconjuntos abiertos $U$ y $V$ de $S^3$ , donde $U$ es el hemisferio inferior abierto de $S^3$ y $S^2\subset V$ es un pequeño $\epsilon$ -cerca del ecuador. Dado que el mapa cociente $q:S^3\to \mathbb{R} P^3$ es un cociente por una acción de grupo (es decir $\mathbb{Z}/2$ ), es un mapeo abierto (de hecho $q$ es una proyección de cobertura). Por lo tanto, $q(U)$ , $q(V)$ dar una tapa abierta de $\mathbb{R} P^3$ . Además, después de pensarlo un poco, ves que $q(U)$ La deformación se retrae hasta un punto, $q(V)\simeq \mathbb{R} P^2\subset \mathbb{R} P^3$ y $q(U)\cap q(V)\simeq S^2$ (el ecuador).

La secuencia de Mayer-Vietoris con esta cubierta abierta le da la secuencia $$... \to H_{dR}^{*-1}(S^2)\to H_{dR}^*(\mathbb{R} P^3)\to H_{dR}^*(\mathbb{R} P^2)\oplus H^*_{dR}({\rm pt})\to H_{dR}^{*}(S^2) \to ... $$ Desde $H^*_{dR}({\rm pt})\cong 0$ para $\ast>0$ et $H^0_{dR}(S^2)\cong H^0(\mathbb{R} P^3)\cong H^0(\mathbb{R} P^2)\cong \mathbb{R}$ se obtienen las dos secuencias $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}\to H^1_{dR}(\mathbb{R} P^3)\to H^1_{dR}(\mathbb{R} P^2) \to 0$$ y $$0\to H^2_{dR}(\mathbb{R} P^3)\to H^2_{dR}(\mathbb{R} P^2) \to \mathbb{R}\to \mathbb{R}\cong H_{dR}^3(\mathbb{R} P^3)\;.$$ El isomorfismo $\mathbb{R}\cong H_{dR}^3(\mathbb{R} P^3)$ utiliza el hecho de que los espacios proyectivos Impares son orientables y por lo tanto tienen clases fundamentales. Si puedes convencerte de que el primer mapa de la primera secuencia y el último mapa de la última ecuación son isos (lo que no es muy difícil de hacer, sólo hay que pensar en lo que hacen estos mapas) entonces ya has terminado.

Editar:

El homomorfismo de conexión en la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de Rham tiene una bonita descripción a la Bott y Tu. Puedes usarla para mostrar que los dos mapas en esas secuencias son isos, pero me di cuenta de que es un poco más fácil sacar la secuencia un poco más allá. En particular, para la segunda secuencia, se puede extender a la derecha por $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}\cong H_{dR}^3(\mathbb{R} P^3) \to H^3_{dR}(\mathbb{R} P^2)\;.$$ Pero por razones de dimensión $H^3(\mathbb{R} P^2)=0$ y, por exactitud, ese primer mapa es un mapa lineal suryectivo, por tanto inyectivo, por tanto un iso.