Con dos variables, está definiendo un segmento de línea en $\mathbb{R}^2$ como usted ha señalado. Sin embargo, debido a la restricción simplex, una de estas dos variables es redundante en cuanto a la especificación de la densidad, ya que existe una relación uno a uno entre $x_1$ y $x_2$ . Por lo tanto, la densidad se especifica sobre $K-1$ variables libres (es decir, en $\mathbb{R}$ )
De hecho, esto se señala en la primera línea de esta sección del artículo de Wikipedia, aunque muy sutilmente.
Por lo tanto, su función de densidad se convierte en:.
$$Dir_{1,1}(x_1,1-x_1)=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(1)^2}(x_1)^0(1-x_1)^0=1$$
Por lo tanto,
$$\int_0^1 Dir_{1,1}(x_1,1-x_1) dx_1 = 1$$
Respuesta al comentario de la OP
Debido a las restricciones del simplex, la densidad de Dirichlet de dos variables es en realidad degenerado en $\mathbb{R}^2$ como muestra mi construcción anterior (sólo requiere una variable). Si bien es cierto que tiene una densidad de $1$ no tiene una densidad de $1$ en el segmento de línea que conecta $(1,0)$ con $(0,1)$ . Lo que la construcción anterior muestra es que el marginal tiene un valor de $1$ . Su confusión viene de pensar en $x_2$ como variable libre, en cuyo caso el soporte de la Dirichlet en $\mathbb{R}^2$ tendría un área no nula. Esta intuición está bien en casos como el de la gaussiana bivariante, donde las dos variables no están perfectamente correlacionadas, pero no en este caso.
Podemos derivar esto formalmente como sigue:
Dejemos que $L$ sea algún número en $[0,\sqrt{2}]$ especificando la distancia desde $(1,0)$ a $(0,1)$ a lo largo del segmento de línea de conexión. Así, cada valor de $L$ identifica un único $(x_ 1,x_2)$ par. Usando esta notación, su suposición de que la densidad es $1$ a lo largo de esta línea se reduce a:
$$P(L \in [a,b] \subset)=b-a$$
Sin embargo, podemos demostrar que no es así mediante un tratamiento formal de la densidad conjunta de $x_1,x_2$ :
$$P_L(L\in [a,b])=P_{X_1,X_2}[(x_1,x_2) \in A_{[a,b]}]$$
Donde $A_{[a,b]}:= \{(u,v): u \in [1-\frac{b}{\sqrt{2}},1-\frac{a}{\sqrt{2}}], v = 1- u]$
Ahora, vamos a calcular $P_L(L\in [a,b])$ :
$$P_L(L\in [a,b])= \int_{A_{[a,b]}} dP_{X_1,X_2}= \int_{A_{[a,b]}} dP_{X_1}dP_{X_2|X_1} =\int_{A_{[a,b]}} 1 \;dP_{X_1} = \int_{1-\frac{b}{\sqrt{2}}}^{1-\frac{a}{\sqrt{2}}}1\; du = $$
$$\left(1-\frac{a}{\sqrt{2}}\right) - \left(1-\frac{b}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(b-a)$$
Donde la tercera igualdad se produce porque $dP_{X_2|X_1} = 1$ para $X_2=1-X_1$ (es decir, no es una densidad, sino una masa de probabilidad puntual en $1-X_1$ )
Como puede ver, hemos recuperado el $\frac{1}{\sqrt{2}}$ constante normalizadora de la densidad a lo largo del segmento de línea en $\mathbb{R}^2$ . En efecto, esta densidad conjunta (degenerada) no es más que una transformación lineal de uno de los dos marginales (cualquiera de ellos sirve). Esto hace que el dominio de la densidad de probabilidad vaya de $1$ a $\sqrt{2}$ por lo que la densidad debe disminuir para compensar.
