Cómo encontrar el arco elíptico que corresponde a la curva cúbica de Bézier

Question

Supongamos que tengo una curva cúbica de Bézier que está provista de puntos A, B, C, D, donde

• A es el inicio de la curva

• B es el primer punto de control

• C es el segundo punto de control

• D es el final de la curva.

La ecuación paramétrica de la curva viene dada así:

$x(t) = A_x + 3(B_x - A_x)t + 3(A_x - 2B_x + C_x)t ^ 2 + (3(B_x - C_x) + D_x - A_x) t ^ 3, 0\leqslant t\leqslant 1$ $y(t) = A_y + 3(B_y - A_y)t + 3(A_y - 2B_y + C_y)t ^ 2 + (3(B_y - C_y) + D_y - A_y) t ^ 3, 0\leqslant t\leqslant 1$

Supongamos que esta curva es (UPD: casi) idéntica al arco de la elipse con centro en el punto $O$ .

Pregunta:

¿Cuál es la mejor estrategia para encontrar el centro $O$ ¿los radios y la rotación de (UPD: la elipse aproximada) que representa el arco correspondiente?

Answer 1

Por desgracia, la hipótesis de que la curva es "idéntica al arco de la elipse" es imposible. Las curvas de Bézier pueden acercarse lo suficiente a los arcos circulares o elípticos para ser visualmente indistinguibles de ellos; pero una curva de Bézier no puede coincidir exactamente con un arco de elipse. Si lo hiciera, para alguna elipse $E$ dada por una ecuación $Q(x,y)=0$ entonces $x(t)$ y $y(t)$ satisfaría $Q(x(t),y(t))=0$ para todos $t$ con $0 \leq t \leq 1$ y, por tanto, para todos los reales $t$ . Pero entonces $E$ contendría puntos cuyas coordenadas $x(t)$ y $y(t)$ son arbitrariamente grandes (tomando $t \to \infty$ ), lo cual es imposible $-$ a menos que ambos $x$ y $y$ son constantes, en cuyo caso la "curva" es sólo un punto.