Propiedad de los objetos de presentación finita

Question

Dejemos que $\mathcal{C}$ sea una categoría de Grothendieck. Tomemos una secuencia exacta corta en esta categoría: $$ 0 \to X \to Y \to Z \to 0 $$ donde el objeto $Y$ está finitamente presentada. ¿Es cierto que $Z$ es de presentación finita si y sólo si $X$ está generada finitamente?

La implicación $(\Rightarrow)$ es bastante trivial. No veo la manera de demostrar también lo otro.

Answer 1

Dejemos que $Y,Z$ sea de presentación finita. Afirmo que $X$ está generada finitamente, es decir, si $(A_{\alpha})$ es un sistema dirigido de monomorfismos, entonces $$\mathrm{colim}_\alpha \hom(X,A_\alpha) \to \hom(X,\mathrm{colim}_\alpha A_\alpha)$$ es biyectiva, es decir, un isomorfismo de grupos abelianos. No podemos concluir que $X$ está finitamente presentada: Tomemos un anillo cualquiera $R$ que no es coherente, tiene un ideal finitamente generado $I$ que no está finitamente presentada, y entonces $0 \to I \to R \to R/I \to 0$ proporciona un contraejemplo en $\mathsf{Mod}(R)$ .

Inyectabilidad . Tomemos algún elemento del núcleo, por ejemplo $X \to A_{\alpha}$ . Obtenemos $Y \to A_{\alpha} \sqcup_X Y$ y la composición $Y \to \mathrm{colim}_\alpha A_{\alpha} \sqcup_X Y$ se desvanece en $X$ . Por lo tanto, se eleva a un morfismo sobre $Z$ . Desde $Z$ se presenta de forma finita, es un factor como $Z \to A_{\beta} \sqcup_X Y \to \mathrm{colim}_\alpha A_\alpha \sqcup_X Y$ para algunos $\beta \geq \alpha$ . Considere la composición $Y \to Z \to A_{\beta} \sqcup_X Y$ . A priori esto no es el morfismo canónico, pero se convierte en el colímite. Dado que $Y$ es de presentación finita, podemos elegir $\gamma \geq \beta$ tal que $Y \to Z \to A_{\gamma} \sqcup_X Y$ est el morfismo canónico. Se deduce que el morfismo canónico $Y \to A_\gamma \sqcup_X Y$ se desvanece en $X$ es decir, que $X \to A_\gamma \to A_\gamma \sqcup_X Y$ desaparece. Pero como estamos en una categoría abeliana, los empujes de los monomorfismos son monomorfismos, por lo que en particular $A_\gamma \to A_\gamma \sqcup_X Y$ es un monomorfismo. De ello se deduce que $X \to A_\gamma$ desaparece, como se desea.

La subjetividad. Dejemos que $f : X \to \mathrm{colim}_\alpha A_\alpha$ sea un morfismo. Como estamos en una categoría de Grothendieck, cada $A_\alpha$ es un subobjeto del colímite, y si $X_\alpha \subseteq X$ denota la preimagen o pullback, entonces $X = \mathrm{colim}_\alpha X_\alpha$ . Entonces $f$ es el colímite de los mapas $f_\alpha : X_\alpha \to A_\alpha$ . Consideremos el isomorfismo $Z \cong Y/X = \mathrm{colim}_\alpha Y/X_\alpha$ . Desde $Z$ se presenta de forma finita, este factor es $Z \to Y/X_\alpha \to Y/X$ para algunos $\alpha$ . Por un argumento similar al anterior, podemos suponer que la composición $Y \to Z \to Y/X_\alpha$ es la proyección canónica (después de aumentar $\alpha$ ). Por lo tanto, la proyección canónica $Y \to Y/X_\alpha$ se desvanece en $X$ es decir $X=X_\alpha$ para que $f$ factores a través de $A_\alpha$ .

Espero que sea correcto.