Hace $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k \ln(k)^2}$ ¿converger?

Question

Hace $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=2}^n \frac{1}{k \ln(k)^2}$$ convergen sobre $\Bbb R$ y si es así, ¿hacia qué límite?

Answer 1

Podemos utilizar el teorema de que si $a_n$ es decreciente y positivo, entonces $\sum a_{n}$ converge si $\sum 2^na_{2^n} $ converge. En este caso obtenemos, $$\sum \frac{1}{n^2 \ln 2}$$ que converge. Ni idea de cuál es la suma.

Answer 2

Para la suma parcial se tiene $$\underset{k=2}{\overset{n}{\sum}}\frac{1}{k\,\log\left(k\right)^{2}}=\left(H_{n}-1\right)\log\left(n\right)^{-2}+2\int_{2}^{n}\frac{\left(H_{\left\lfloor t\right\rfloor }-1\right)dt}{t\,\log\left(t\right)^{3}}\,\,\,\,(1)$$ donde $H_{n}$ es el número armónico n-ésimo y $\left\lfloor t\right\rfloor$ es la función suelo. Utilizando la desigualdad $$H_{\left\lfloor t\right\rfloor }<\log\left(t\right)+1$$ tienes el límite superior $$(1)<\left(H_{n}-1\right)\log\left(n\right)^{-2}+2\int_{2}^{n}\frac{dt}{t\,\log\left(t\right)^{2}}=\left(H_{n}-1\right)\log\left(n\right)^{-2}+\frac{2}{\log\left(2\right)}-\frac{2}{\log\left(n\right)}\overrightarrow{n\rightarrow\infty}\frac{2}{\log\left(2\right)}.$$