Que $A \subset \mathbb{R}$ ser un conjunto contable. Es fácil ver que $A$ % de la dimensión de Hausdorff $\dim_H(A) = 0$.
¿Existen innumerables juegos $A \subset \mathbb{R}$ $\dim_H(A) = 0$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una fina versión de la habitual Cantor tercio medio conjunto de obras. La idea es justo que usted necesita para omitir más que un la tercera parte de el resto de los intervalos de la construcción procede, lo suficiente como para obligar a la dimensión de Hausdorff $0$.
Específicamente, se construye el conjunto de etapas. En cada etapa, hemos omitido un "tercio medio" de cada finito intervalo restante. Por lo tanto, en la etapa de $n$, nuestro conjunto es contenida en $2^n$ muchos intervalos de algunos longitud finita $a_n$. En el típico medio tercio de la construcción, hemos $a_n=3^{-n}$. Pero en nuestra construcción aquí, queremos $a_n$ a ser lo suficientemente pequeño para que $2^na_n^{1/n}\to 0$. Por este medio, la dimensión de Hausdorff se verá forzado a $0$. Pero el conjunto resultante es perfecto, y por lo tanto es incontable de tamaño continuo.
