¿Serie de Leibnitz? $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n^{2} +3n - \sin(n)}{n^{4}-\arctan(n^{2})}$

Question

Buenas tardes a todos,

Me gustaría discutir con usted el siguiente ejercicio :

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n^{2} +3n - \sin(n)}{n^{4}-\arctan(n^{2})}$

Puedo demostrar que $\lim\limits_{x \to \infty} a_{n} = 0$ , donde $a_{n} = \frac{n^{2} +3n - \sin(n)}{n^{4}-\arctan(n^{2})}$

Pero todavía no puedo probar su convergencia, habría utilizado la prueba de series alternas de Leibnitz (debido a $(-1)^{n}$ ), pero no pude decir $a_{n+1} \leq a_{n}$ .

Tal vez podría estudiar la convergencia absoluta y luego por la prueba de comparación encontrar que converge ?

Se agradecería cualquier ayuda,

Gracias de todos modos.

Answer 1

Pista/Paseo: Desde $\sin(n)$ y $\arctan(n^2)$ son ambos fácilmente acotados, mientras que $n^2+3n$ y $n^4$ no lo son, se puede demostrar que su expresión $a_n$ es definitivamente decreciente a partir de cierto punto. Entonces puede utilizar la prueba de las series alternas.

Answer 2

No hace falta Leibniz: Para $n>1,$

$$\left |(-1)^{n} \frac{n^{2} +3n - \sin n}{n^{4}-\arctan(n^{2})}\right| \le \frac{n^{2} +3n +1}{n^{4}-\pi/2}.$$

Esto tiene buena pinta, ¿no? Parece que los términos de la derecha son como $1/n^2.$ Comprueba que los términos de la derecha divididos por $1/n^2$ acercarse a $1.$ Desde $\sum 1/n^2<\infty,$ la prueba de comparación de límites muestra que la suma de los términos de la derecha converge. Por lo tanto, nuestra serie converge absolutamente, y por lo tanto converge. (Moraleja: no asumas ciegamente que Leibniz es el camino a seguir sólo porque tiene la $(-1)^n$ que está ocurriendo).