Existencia de un potencial de segundo orden para la EDP

Question

Existe una afirmación en la literatura (véase el párrafo entre las ecuaciones (18) y (19) en http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.523863 ), que me gustaría generalizar, pero no tengo una buena prueba de la afirmación original. La afirmación es la siguiente:

Dado cualquier campo tensorial simétrico $T_{ab}$ en un hiperboloide tridimensional $H$ con $$\begin{equation} D_{[a}T_{b]c}=0, \tag{1} \end{equation}$$ existe un campo escalar $T$ en $H$ satisfaciendo $$\begin{equation} T_{ab} = D_a D_b T + T h_{ab}, \tag{2} \end{equation}$$ donde $h_{ab}$ es la métrica del hiperboloide y $D$ es la derivada covariante en el hiperboloide. El tensor de Riemann en $H$ satisface $R_{abcd} = h_{ac}h_{bd} - h_{ad} h_{bc}$ .

(También me alegra asumir que $T_{ab}$ no tiene trazos, lo que junto con (1) implica que $T_{ab}$ es sin divergencia).

Físicamente esto es decir que el tensor $T_{ab}$ admite un potencial (de segundo orden) $T$ . Me gustaría generalizarlo a otras dimensiones, posiblemente a otros colectores, etc. Pero la única prueba de esta afirmación que conozco, se basa en el uso explícito de los armónicos esféricos en $H$ .

¿Existe algún método general para determinar si un tensor dado que satisface cierta EDP puede escribirse como algún operador diferencial (que posiblemente implique datos geométricos) que actúe sobre algún otro tensor?

Después de buscar un poco he encontrado Caracterización de los hessianos entre tensores bilineales simétricos que puedo imitar para demostrar que dado $T$ entonces $T_{ab}$ construida en (2) resuelve efectivamente (1). Pero, ¿cómo puedo demostrar que todas las soluciones de (1) vienen dadas por (2)?

Answer 1

En primer lugar, tienes un signo equivocado en tu fórmula para la curvatura. El tensor de curvatura que has dado tiene una curvatura seccional constante positiva +1 mientras que tú afirmas que quieres una curvatura seccional negativa (es decir, un espacio hiperbólico), lo que invertiría el signo de $R$ . En segundo lugar, cuando hablas de armónicos esféricos, creo que debes estar copiando la fórmula de la unidad $n$ -Esfera, $S^n$ , no el espacio hiperbólico $H^n$ . Esto también provoca un error en su fórmula potencial (2), que sería correcta para el $n$ -esfera, sino que debería ser $T_{ab} = D_aD_bT - T h_{ab}$ para el espacio hiperbólico.

Daré la respuesta para el espacio hiperbólico, ya que es lo que quieres, pero ten en cuenta que tendrás que invertir los signos para obtener la misma respuesta para el $n$ -Esfera.

El resultado que buscas se deduce inmediatamente del teorema de Frobenius, utilizando las técnicas mencionadas en la pregunta de MO que citas al final. La idea es simplemente esta: Tomar el tensor $T$ como se ha dado. Sea $\omega_i$ sea cualquier $h$ -campo de marco ortonormal (que puede ser elegido globalmente en $H^n$ ya que es contraíble) y dejemos que $\theta_{ij}=-\theta_{ji}$ sea el único $1$ -formas satisfactorias $\mathrm{d}\omega_i = -\theta_{ij}\wedge\omega_j$ . (Aquí y a continuación, utilizo la convención de suma de "Einstein".) Por la suposición de que la curvatura seccional es idéntica $-1$ tenemos $\mathrm{d}\theta_{ij} = -\theta_{ik}\wedge\theta_{kj} - \omega_i \wedge\omega_j$ .

Ahora, en $X = H^n\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ , con proyecciones $u:X\to\mathbb{R}$ y $(u_i):X\to\mathbb{R}^n$ sobre el segundo y tercer factor, considere el sistema Pfaffiano $\mathcal{I}$ generado por el $(n{+}1)$ linealmente independiente $1$ -forma $$\xi = \mathrm{d}u - u_i\ \omega_i \quad\text{and}\quad \xi_i = \mathrm{d}u_i +\theta_{ij}\ u_j - (T_{ij}+u\,\delta_{ij})\ \omega_j\,.$$ Según las hipótesis sobre $T = T_{ij}\omega_i\omega_j$ y la curvatura de $h$ este sistema es Frobenius, es decir, satisface $\mathrm{d}\xi \equiv \mathrm{d}\xi_i\equiv 0 \mod \mathcal{I}$ .

Así, $X$ está foliada por las hojas de $\mathcal{I}$ que son transversales a las fibras de la proyección $\pi:X\to H^n$ en el primer factor. Como el sistema es lineal afín en $(u,u_i)$ se deduce que cada hoja $L\subset X$ de $\mathcal{I}$ se convierte en un espacio de cobertura de $H^n$ bajo la proyección $\pi:L\to H^n$ . Desde $H^n$ es conectado y simplemente conectado, tal proyección es un difeomorfismo de la hoja $L$ con $H^n$ y por lo tanto tiene una inversa, que se puede escribir de la forma $\sigma:H^n\to L\subset X$ de la forma $\sigma(p) = \bigl(p,f(p),f_i(p)\bigr)$ . Por construcción, la función $f = u\circ\sigma:H^n\to\mathbb{R}$ y $(f_i) = (u_i)\circ\sigma:H^n\to\mathbb{R}^n$ debe satisfacer $$df = f_i\ \omega_i \qquad\text{and}\qquad df_i = -\theta_{ij}\ f_j + (T_{ij}+f\delta_{ij})\ \omega_j\,.$$ La función $f$ es el potencial que buscas.