Sabemos que un conjunto compacto es cerrado. Sin embargo, un conjunto discreto finito es compacto pero no cerrado (¿contradiciendo el teorema?)

Question

Sabemos que un conjunto compacto es cerrado. También sabemos que un conjunto discreto finito es compacto (ya que toda cubierta tiene una subcubierta finita). Sin embargo, un conjunto discreto finito no es cerrado (¿contradiciendo el teorema?). Estoy seguro de que me estoy perdiendo algo aquí, o el teorema tiene ciertas condiciones incrustadas.

Answer 1

En un espacio métrico, las dos cosas siguientes son ciertas: cualquier conjunto compacto es cerrado, y cualquier conjunto finito es a la vez cerrado y compacto.

Su afirmación de que un conjunto finito puede no ser cerrado no es cierta para los espacios métricos.

Answer 2

Un conjunto discreto finito es cerrado.