¿Son todos los ceros de $\Gamma(s) \pm \Gamma(1-s)$ en una línea con parte real = $\frac12$ ?

Question

La función $\Gamma(s)$ no tiene ceros, pero $\Gamma(s)\pm \Gamma(1-s)$ lo hace.

Ignorando las soluciones reales por ahora y asumiendo $s \in \mathbb{C}$ entonces:

$\Gamma(s)-\Gamma(1-s)$ produce ceros en:

$\frac12 \pm 2.70269111740240387016556585336 i$ $\frac12 \pm 5.05334476784919736779735104686 i$ $\frac12 \pm 6.82188969510663531320292827393 i$ $\frac12 \pm 8.37303293891455628139008877004 i$ $\frac12 \pm 9.79770751746885191388078483695 i$ $\frac12 \pm 11.1361746342106720656243966380 i$ $\frac12 \pm 12.4106273718343980402685363665 i$

$\dots$

y

$\Gamma(s)+\Gamma(1-s)$ da ceros en:

$\frac12 \pm 4.01094805906156869492043027819 i$ $\frac12 \pm 5.97476992595365858561703252235 i$ $\frac12 \pm 7.61704024553573658642606787126 i$ $\frac12 \pm 9.09805003388841581320246381948 i$ $\frac12 \pm 10.4760650707765536619292369200 i$ $\frac12 \pm 11.7804020877663106830617193188 i$ $\frac12 \pm 13.0283749883477570386353012761 i$

$\dots$

Por multiplicación, ambas funciones pueden combinarse en: $\Gamma(s)^2 - \Gamma(1-s)^2$

Después de jugar con el dominio de $s$ e inspeccionando los gráficos de salida 3D asociados, ahora me atrevo a conjeturar que todos los ceros "complejos" de esta función deben tener una parte real de $\frac12$ .

¿Se ha demostrado esto? Si no es así, agradecería cualquier idea sobre posibles enfoques.

Gracias.

Answer 1

Dado que $\Gamma(s)$ y $\Gamma(1-s)$ son conjugados complejos cuando $\Re(s)=1/2$ no es de extrañar que $\Gamma(s)+\theta\Gamma(1-s)$ tiene una infinidad de ceros en la línea $\Re(s)=1/2$ Siempre y cuando $|\theta|=1$ . El argumento de monotonicidad dado en la primera respuesta muestra entonces que no hay otros ceros con $0<\Re(s)<1$ . Con la posible excepción de que la parte imaginaria de $s$ es pequeño, los ceros para dos diferentes $\theta$ debe entrelazarse (si $\theta$ recorre el círculo unitario una vez, un cero se lleva a un cero adyacente).