En la primera parte, demostramos que no hay ceros para $z = s + i t$ con $|t| \ge 4$ .
Dejemos que $\psi(z):= \Gamma'(z)/\Gamma(z)$ sea la función digamma. Si $z = s + i t$ entonces $$\frac{d}{ds} |\Gamma(z)|^2 = \frac{d}{ds} \Gamma(z) \Gamma(\overline{z}) = |\Gamma(z)|^2 \left(\psi(z) + \psi(\overline{z})\right).$$ (Ambos $\Gamma(z)$ y $\psi(z)$ son reales de verdad $z$ y así satisfacer el principio de reflexión de Schwartz). La fórmula del producto de la función Gamma implica que existe una identidad $$\psi(z) = - \ \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{z + n} \right) = 1 - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{z + n} \right),$$ y por lo tanto $$\psi(z) + \psi(\overline{z}) = 2(1 - \gamma) + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{n + 1} - \frac{1}{z + n} - \frac{1}{\overline{z} + n} \right).$$ Supongamos que $z = s + i t$ y que $s \in [0,1]$ . Entonces $$ \frac{2}{n + 1} - \frac{1}{s + i t + n} - \frac{1}{s - i t + n} = \frac{2(s^2 + t^2 + n s - s - n)}{(1+n)(n^2 + 2 n s + s^2 + t^2)} \ge \frac{-2}{(n^2 + t^2)}.$$ (La última desigualdad proviene de ignorar todos los términos positivos en el numerador, y luego estableciendo $s = 0$ en el denominador). De ello se desprende que $$\psi(z) + \psi(\overline{z}) \ge 2(1 - \gamma) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2 + t^2},$$ que es positivo para $t$ lo suficientemente grande, por ejemplo $|t| \ge 4$ . Por otro lado, $$\psi(z + 1) + \psi(\overline{z} + 1) = \psi(z) + \psi(\overline{z}) + \frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}} = \psi(z) + \psi(\overline{z}) + \frac{2s}{|z|^2}.$$ En particular, si $\psi(z) + \psi(\overline{z})$ es positivo para $s \in [0,1]$ para algún tipo de $t$ es positivo para todos los $s$ y ese particular $t$ . De ello se desprende que, si $|t| > 4$ que $|\Gamma(s + it)|^2$ es creciente en función de $s$ . En particular, si $|t| > 4$ , entonces cualquier igualdad $$|\Gamma(s + i t)| = |\Gamma(1 - (s + i t))| = |\Gamma(1 - s + i t)|$$ implica que $s = 1/2$ .
La segunda parte es una continuación del argumento anterior, que completa el argumento. (fusionado de una respuesta diferente).
Dejemos que $C_n$ denota el cuadrado con vértices $[n \pm 1/2, \pm 4 I]$ para un número entero positivo $n$ . Tenemos las siguientes desigualdades para $z \in C_n$ y $n \ge 15$ : $$|\sin(\pi z)| \ge 1, \quad z \in C_n.$$ $$|\Gamma(z)| \ge \frac{1}{2} \Gamma(n - 1/2),$$ $$|\Gamma(1-z)| \le \frac{\pi}{\Gamma(n - 1/2)} \le 1,$$ $$|\psi(1-z)|, |\psi(z)| \le 2 \log(n), $$
La primera es fácil, la segunda se desprende de la fórmula de Stirling (esto requiere $n$ para ser lo suficientemente grande, y también requiere $z$ para tener una parte imaginaria como máximo $4$ ), la tercera se desprende de la anterior por la fórmula de reflexión de $\Gamma(z)$ la última se deduce por inducción y por la fórmula $\psi(z+1) = \psi(z) + 1/z$ . De ello se desprende que $$\left| \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C_n} \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} - \frac{d/dz (\Gamma(z) + \theta \cdot \Gamma(1-z))}{\Gamma(z) + \theta\cdot \Gamma(1-z)} \right|$$ $$= \left| \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C_n} \frac{\theta \Gamma(1-z) (\psi(1-z) + \psi(z))} {\Gamma(z) + \theta \cdot \Gamma(1-z)} \right|$$ $$ \le \frac{8 |\theta| \cdot \log(n) \pi}{2 \pi \cdot \Gamma(n - 1/2)} \oint_{C_n} \frac{1} {|\Gamma(z) + \theta \cdot \Gamma(1-z)|}$$ $$ \le \frac{8 |\theta| \cdot \log(n) \pi}{2 \pi \cdot \Gamma(n - 1/2)} \cdot \frac{1}{1/2 \Gamma(n - 1/2) + 1} \ll 1,$$ donde $\theta = \pm 1$ (o cualquier cosa pequeña) y $n \ge 15$ donde la desigualdad final se mantiene por un margen enorme. De ello se desprende que $\Gamma(z) + \theta \cdot\Gamma(1-z)$ y $\Gamma(z)$ tienen el mismo número de ceros menos el número de polos en $C_n$ . Desde $\Gamma(z)$ no tiene ceros ni polos en $C_n$ se deduce que $\Gamma(z) + \theta\cdot\Gamma(1-z)$ tiene el mismo número de ceros y polos. Tiene exactamente un polo, y por tanto exactamente un cero. Si $\theta = \pm 1$ (y por lo tanto en particular es real), por el Schwarz este cero está obligado a ser real. Por simetría, el mismo argumento se aplica en la región $z = s + i t$ con $|t| \le 4$ y $s \le -15$ . Combinado con el argumento anterior, esto reduce la reclamación a $z = s + i t$ con $|s| \le 15$ y $|t| \le 4$ donde el puede comprobarse directamente la reclamación.
De ahí todos los ceros fuera de la caja $z = s + it$ con $|t| \le 4$ y $|s| \le 15$ están en $\mathbf{R}$ o se acueste en la línea $1/2 + i \mathbf{R}$ .
EDITAR Para aclarar, en realidad no lo hice comprobar que no había ceros "excepcionales" en la caja $\pm 15 \pm 4 I$ ya que supuse que el cartel original lo había hecho. Si $F(z) = \Gamma(z) - \Gamma(1-z)$ , calculando entonces la integral $$\frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{F'(z)}{F(z)} dz$$ alrededor de esa caja, se obtiene (numéricamente, y por tanto exactamente) $1$ . Hay (suponiendo que que la OP haya calculado correctamente los ceros de la línea crítica) $2$ ceros en ese rango en la línea crítica. A lo largo de la línea real en ese rango, hay $30$ postes y $25$ ceros. Esto significa que debe haber $1 + 30 - 25 = 6$ ceros no contabilizados. Para ese cero $\rho$ de la línea, por simetría también se tiene $\overline{\rho}$ , $1 - \rho$ y $1 - \overline{\rho}$ como ceros. Por lo tanto, debe haber $1$ o $3$ pares de ceros en la línea crítica, y $1$ o $0$ cuádruples de raíces fuera de la línea. Variando los parámetros de la integral, se puede confirmar que hay un cero con $\rho \sim 2.7 + 0.3 i$ que es uno de los cuatro conjugados de la raíz encontrada por joro. Un argumento similar se aplica para $\Gamma(z)+\Gamma(1-z)$ . Por lo tanto:
Cualquier cero de $\Gamma(z) - \Gamma(1-z)$ está en $\mathbf{R}$ , en la línea $1/2 + i \mathbf{R}$ o es uno de los cuatro ceros excepcionales $\{\rho,1-\rho,\overline{\rho},1-\overline{\rho}\}$ . Un cálculo similar implica lo mismo para $\Gamma(z) + \Gamma(1-z)$ , salvo que ahora con un conjunto excepcional $\{\mu,1-\mu,\overline{\mu},1-\overline{\mu}\}$ .
