El número de formas en que una puntuación de $11$ se puede hacer de un lanzamiento por tres personas, cada una lanzando un solo dado una vez es

Question

¿Cuál es el número de formas en que una puntuación de $11$ puede obtenerse de una tirada de tres personas, cada una de las cuales lanza un solo dado una vez?

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Mi intento:

Intenté responder a esta pregunta contando el número posible de ocurrencias de dados tales que su suma es $11$ sin repetición de las mismas ocurrencias.

$6$ $4$ $1$
$6$ $3$ $2$
$5$ $5$ $1$
$5$ $4$ $2$
$6$ $3$ $3$
$4$ $3$ $4$

Por lo tanto, el número total de tales ocurrencias es $6$ y estas ocurrencias pueden ser permutadas en $3!$ formas cada uno. Así que la respuesta final es $6 \cdot 3!$ . Pero se supone que la respuesta correcta es 27, así que ¿en qué me equivoco?

Nota: Quiero resolver esta pregunta sólo con el método de conteo.

Answer 1

Estás contando las permutaciones de $434$ , $551$ y $633$ como seis posibilidades cada una, en lugar de las tres correctas. Por lo tanto, debe restar nueve de su total de $36$ para obtener el resultado correcto de $27$ .

Answer 2

También puedes escribir todas las formas posibles en las que viene el 11 teniendo en cuenta que no se repitan los dígitos. Por ejemplo, si he contado (1,4,6) no debo contar (6,4,1) y otros números. Eso se puede formar con (1,4,6) mientras se escriben las formas en las que el no. Suma 11. ( Consideraremos sólo al contar el nº total de posibilidades). (1,4,6)→6 posibilidades (1,5,5)→3 posibilidades (2,3,6)→6 posibilidades (2,4,5)→6 posibilidades (3,3,5)→3 posibilidades (3,4,4)→3 posibilidades En total 27 posibilidades.

Answer 3

Al utilizar funciones generadoras, nos interesa el coeficiente de $t^{11}$ en la expresión

$$(t+t^2+t^3 + t^4 + t^5 + t^6)^3$$

que es $27$ .