¿Discontinuidad removible o asíntota?

Question

La diferencia entre una "discontinuidad removible" y una "asíntota vertical" es que tenemos una discontinuidad R. si el término que hace que el denominador de una función racional sea igual a cero para x = a se anula bajo el supuesto de que x no es igual a a.

Por otra parte, si no podemos "anularla", es una asíntota vertical.

¿Podría haber una forma intuitiva de entender esto? ¿Por qué es así?

En el caso de una discontinuidad en R., me imagino que se trata de un único punto aislado (x = a, en este caso) en el que la función no está definida, pero por lo demás es continua.... pero ¿no es también el caso de la función con la asíntota verticla? ¿No es ésta también simplemente no definida para ese punto aislado, pero por lo demás continua? Entonces, ¿por qué se comportan de forma tan diferente, siendo una función con una D.R. simplemente una función regular pero con un "círculo" sobre el punto no definido, mientras que una asíntota vertical hace que la función haga algunas cosas locas (por ejemplo, saltar hacia el infinito cuando se acerca a a).

Answer 1

Los pacientes han estado esquiando y todos tienen una fractura.

Paciente A) f(x) = 5 si x no es 0, y 0 no está en dom(f).

Paciente B) f(x) = 5 si x no es 0 y f(0)=17

Paciente C) f(x) = |x|/x

Paciente D) f(x) = 1/x

Los pacientes A y B tienen una discontinuidad removible en 0, porque los límites izquierdo y derecho son ambos 5. (Existen y son iguales.) El paciente A ha perdido un punto de hueso y ya no lo tenemos, pero con el milagro de la medicina moderna es fácilmente reemplazado. El paciente B) tiene el punto, pero está muy lejos, en 17, cuando debería estar en 5. Ambas operaciones son sencillas, y los pacientes volverán pronto a las pistas.

Has mostrado una insensible despreocupación por el paciente C), cuya fractura sí es más grave, porque es una discontinuidad de salto. En 0, el límite izquierdo es -1 y el derecho es 1. (En 0, los límites izquierdo y derecho existen, pero no son iguales.) Puedes imaginar cómo es la radiografía, o simplemente dibujar la gráfica.

El paciente D) nunca volverá a esquiar, porque hay una discontinuidad infinita en 0. Incluso si sólo uno de los límites de la izquierda o de la derecha fuera infinito (ya sea + o -), la fractura es inoperable.

Answer 2

Esta es una respuesta a la pregunta de khanacademy.org El mérito de esta respuesta es del usuario "Tronax" de khanacademy.org:

Intentaré mostrar la diferencia entre los dos tipos de lo que antes llamábamos "indefinido".

¡Empecemos con la "discontinuidad removible", que en realidad dice, que la gráfica en el punto de x podría ser absolutamente cualquier y! Y no hay manera de encontrarla. Podría ser 0, -7, 65, 23/7, 3982,3 etc. Los matemáticos acordaron entre ellos, que si no pueden entenderlo mejor y encontrar su valor - no existe. Así que ahora simplemente dibujamos un círculo vacío en la curva de nuestros gráficos en los puntos que se sabe que tienen una discontinuidad extraíble.

Esto sucede si la función tiene una forma que incluye el mismo factor no constante tanto en el numerador como en el denominador. Por ejemplo y = (x+1)(x+2) / (x+1). Observa que el factor (x+1) está tanto en el numerador como en el denominador. Para x=-1, (x+1) es igual a cero, por lo que decimos que en x=-1 la función tiene una discontinuidad removible.

Pero... ¿por qué?

Porque cuando introduces x=-1 y tratas de resolver para y y = (-1+1)(-1+2) / (-1+1) y = 0*(-1)/0 y = 0/0 o (esta es una de las interpretaciones) 0y = 0 Puedes sustituir y por cualquier número, esta expresión se ajusta a todos, ya que cualquier cosa multiplicada por 0 es igual a 0. Se trata de una discontinuidad extraíble. La gráfica alrededor del punto de ella, se ve igual que lo haría, si no hubiera una discontinuidad removible.

El segundo tipo es la "asíntota vertical". Se produce cuando para alguna x, el denominador (y sólo el denominador) es igual a cero. Es algo más fácil de entender. Pensemos en lo que ocurre cuando vemos 8/4. Esto dice: ¿cuántas veces podemos meter el denominador 4 en 8? Se necesitan 2 veces. Para 8/2 se necesitan 4 veces; para 8/1 - 8 veces; 8/0,5 - 16 veces; 8/0,25 - 32 veces. Cuanto más bajo y cercano a cero sea nuestro denominador, más veces podremos meterlo en el mismo 8. Cuando se vuelve realmente muy pequeño, ¡puede caber millones de veces! Cuando se convierte en un número tan pequeño que apenas podemos distinguirlo del cero, ¡parece que harían falta casi infinitas veces de ese número para que cupiera en nuestro 8! Por eso, cuando el denominador se acerca a 0, decimos que el resultado se acerca al infinito. Cuando x se acerca a 0, y=8/x se acerca al infinito y y=-8/x se acerca al infinito negativo.

No te confundas, cuando x es realmente igual a cero, ¡y=8/x es indefinido! En este caso, se podría decir que incluso el infinito no es suficiente :)

Cuando decimos "se acerca a cero", sólo queremos decir que se acerca mucho mucho mucho a cero, pero no a cero.

"Asíntota vertical en x = k" sólo se refiere a lo que ocurre antes y después de k en la gráfica. x = k en sí mismo es indefinido.

La gráfica antes y después de la asíntota vertical se vuelve rápidamente casi paralela al eje y.

Espero que esto sea útil.

Fuente: https://www.khanacademy.org/math/algebra2/rational-expressions-equations-and-functions/discontinuities-of-rational-functions/v/discontinuities-of-rational-functions

Answer 3

Permítanme que intente escribir una respuesta más concisa y matemáticamente precisa comparando definiciones. La definición de asíntota horizontal en $y = k$ es:

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = k \qquad \text{or} \qquad \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = k $$

En palabras, como $x$ valores se hacen cada vez más grandes o pequeños, la función se aproxima a un $y$ valor $k$ . Esto no tiene nada que ver, per se, con que la función esté definida o no en $k$ .

Pero la definición para una discontinuidad removible en $x_k$ -nota que se trata de un $x$ en lugar de un valor $y$ valor-la definición es:

$$ \lim_{x \rightarrow x_k} f(x) = L < \infty \quad \text{ and } \quad f(x_k) \neq L $$

Comparando las dos definiciones en palabras: para una asíntota, nos importa cómo $f(x)$ se comporta como $x$ se hace muy grande o muy pequeño, mientras que para una discontinuidad removible, nos importa cómo $f(x)$ se comporta como $x$ se acerca mucho a algunos $x$ valor $x_k$ . He aquí una visualización de esa diferencia, con la asíntota a la izquierda y la discontinuidad extraíble a la derecha:

Hay sutilezas en esta distinción que estoy glosando, pero creo que esto capta la diferencia general.