Pregunta sobre dos problemas sencillos sobre espacios de cobertura

Question

Aquí hay dos problemas que parecen triviales, pero que no he podido probar.

i) Si $p:E \to B$ y $j:B \to Z$ son mapas de cobertura, y $j$ es tal que las preimágenes de los puntos son conjuntos finitos, entonces el compuesto es un mapa de cobertura. Para ello, la vecindad $U$ que finalmente será cubierto por el compuesto será el mismo que finalmente es cubierto por $j$ pero no puedo demostrar que la preimagen pueda escribirse como una unión disjunta de conjuntos abiertos homeomorfos a $U$ .

ii) Para esto no tengo ni idea de qué hacer, pero si demuestro que es inyectiva, ya está. Sea $p:E \to B$ sea un mapa de cobertura, con $E$ camino conectado y $B$ simplemente conectado; demuestre que $p$ es un homeomorfismo.

Answer 1

En la primera: Toma $z\in Z$ y que $U$ sea una vecindad uniformemente cubierta de $z$ . Entonces $j^{-1}(U)=\cup_{i\leq k} V_i$ (sindicato de dj) y $j^{-1}(z)= \{b_1,...b_k\}$ donde $b_i \in V_i$ . Ahora elija $b_i \in X_i \subset V_i$ donde ahora el $X_i$ están cubiertos uniformemente por $p$ . Entonces dejemos que $Y= \cap_{i\leq k} j(X_i)$ . $Y$ es abierta ya que se trata de una intersección finita. Ahora $Y$ uniformemente cubierto por el compuesto.

en el segundo: Supongamos que $p$ no fueran inyectivas. Dejemos que $p(x_1)=p(x_2)=y$ Entonces toma un camino $\gamma$ de $x_1$ a $x_2$ . $p\gamma$ es entonces un bucle en $y$ homotópica al bucle trivial. Así que cuando el bucle trivial y $p\gamma$ elevar a las trayectorias que comienzan en $x_1$ los dos ascensores deben terminar en el mismo punto. Pero la elevación del bucle trivial termina en $x_1$ y la elevación de $p\gamma$ que es $\gamma$ termina en $x_2$ .

Answer 2

Llamemos a un barrio abierto $U$ de un punto $y$ principal (wrt. una proyección de cobertura $p: X \to Y$ ), si se trata de una imagen previa $p^{-1}(U)$ es una unión disjunta de conjuntos abiertos, que se mapean homeomórficamente en $U$ por $p$ .

Por definición, una proyección de cobertura es una suryección $p: X \to Y$ , de manera que cada punto tiene una vecindad principal. Es fácil ver que si $U$ es una vecindad principal de un punto $y$ , entonces cualquier barrio abierto $U'$ de $y$ con $U' \subset U$ es de nuevo principal.

i) Que $p: X \to Y$ y $q: Y \to Z$ sean proyecciones de cobertura, donde $q^{-1}(\{z\})$ es finito para cada $z \in Z$ . Sea $z \in Z$ y $U$ un barrio principal de $z$ . Para cada punto $y \in q^{-1}(\{z\})$ elegir un barrio principal $V_y$ . Podemos suponer que $V_y$ es un subconjunto del componente de $q^{-1}(U)$ correspondiente a $y$ , posiblemente sustituyendo a $V_y$ con su intersección con ese componente.

Ahora dejemos que $$U' = \bigcap_{y \in q^{-1}(\{z\})}q(V_y),$$ entonces $U'$ es una vecindad abierta (siendo la intersección de muchos subconjuntos abiertos) de $z$ . Debería ser fácil comprobar que $U'$ es principal.

ii) Que $e,e' \in E$ con $p(e) = p(e')$ y $\gamma: I \to E$ sea un camino desde $e$ a $e'$ . Ahora $p \circ \gamma$ es un camino cerrado, y por tanto nulo-homotópico. El levantamiento de tal homotopía muestra que $e=e'$ .