Se quiere demostrar que (un sistema lineal de ecuaciones es inconsistente ) implica que (hay una columna pivote en la última columna de una forma escalonada de la matriz aumentada).
Esto equivale a demostrar que
(hay no columna pivote en la última columna de la forma escalonada de la matriz aumentada) implica que (el sistema lineal es consistente ).
Supongamos ahora que no hay ninguna columna pivote de la forma escalonada del sistema aumentado. Supongamos que ya se sabe que el espacio de soluciones no se modifica por las operaciones elementales de las filas. Obsérvese también que la eliminación de las filas cero tampoco cambia el espacio de soluciones y, por tanto, podemos suponer que no hay filas cero en nuestro RREF. Observación: si el RREF es la matriz cero, cualquier vector del tamaño adecuado es una solución, supondremos que éste no es el caso aquí.
Construyamos una solución $x$ que satisface el sistema lineal. WLOG, podemos escribir $x=(x_B, x_N)$ donde $x_B$ son las entradas de $x$ corresponde a las columnas pivotantes y $x_N$ corresponde a las entradas de $x$ corresponde a las columnas no pivotantes.
Queremos resolver $$Rx=r$$
$$\begin{bmatrix} R_B & R_N \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_B \\ x_N \end{bmatrix}=r$$
donde $R_B$ corresponde a las columnas pivote y $R_N$ corresponde a las columnas no nulas.
Hemos establecido $x_N=0$ y obtenemos $$R_Bx_B=r$$
Como, $R_B$ se construye a partir de las columnas pivote, las entradas diagonales de $R_B$ son distintos de cero, por lo que es no singular y por tanto $x_B= R_B^{-1}r$ .
De ahí que hayamos encontrado una solución.
