Recuperar el campo escalar del gradiente

Question

En una dimensión, si tengo una derivada de Riemann-integrable $f'$ de una función $f$ que no sé, puedo (casi) recuperar $f$ de integrar $f'$ .

Un ejemplo sencillo sería $f'(x)=2x$ , entonces por el Teorema Fundamental del Cálculo, obtengo que $f(x)=x^2 + const,$ donde la constante no depende de $x$ . He dicho "casi recuperar" porque para determinar la constante, necesitamos un punto en la gráfica de $f$ .

Mi pregunta es ahora: ¿Es posible recuperar un campo escalar $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ cuando sólo conozco el gradiente $\left( \partial_1 f(x), \ldots, \partial_n f(x) \right)$ .

Mis pensamientos: Podría aplicar el teorema fundamental del cálculo en la primera componente integrando sobre $x_1$ Pero entonces, me pondría $$\begin{align} \int \partial_1 f(x)d x_1=f(x)+C, \end{align}$$ donde $C$ constante sólo en $x_1$ pero puede variar con $x_2,\ldots,x_n$ . Escribo $C=C_{-1}$ para indicar esto. Ahora podría proceder y hacer el mismo cálculo para todas las derivadas parciales, es decir $$\begin{align} \int \partial_i f(x)d x_i=f(x)+C_{-i}. \end{align}$$ No puedo simplemente sumarlos y dividirlos por $n$ para recuperar $f$ más una constante (en todas las variables). De hecho, la adición de dos variables distintas $C_{-i}$ y $C_{-j}$ juntos me darían una función que depende de todos $x_i$ 's.

Pensé en considerar $f(x)+C_{-1}=f(x)+C_{-2}$ donde $f$ se cancelaría. Como el lado izquierdo no depende de $x_1$ y el lado derecho no depende de $x_2$ Ninguna de las partes depende de ninguno de los dos $x_1$ o $x_2$ . Me parece que esto demuestra que el $C_{-i}$ todos son constantes en todos $x_i$ pero no puede ser correcto, como muestra el siguiente ejemplo: Tomemos $f(x_1,x_2)=x_1+x_2$ . Entonces $$\begin{align} \left( \partial_1 f,\partial_2 f \right)=(1,1) \end{align}$$ Si ahora $C_{-1}$ sería efectivamente una constante, tendría $$\begin{align} f(x)=\int \partial_1 f(x)dx_1=x_1+c \end{align}$$ que está mal. He buscado por ahí y he encontrado el Teorema del gradiente que parece ser la declaración correcta, pero no veo cómo usarla para encontrar $f$ Probablemente porque no sé mucho sobre integrales de línea.

Answer 1

Método 1: Utiliza el teorema fundamental del cálculo para integrales de línea, que te dice que tienes $f(y)-f(x)=\int_C \nabla f \cdot d\mathrm{r}$ donde $C$ es cualquier camino desde $x$ a $y$ .

Método 2: integrar en una variable, diferenciar en otra variable, fijar el resultado igual a la derivada parcial dada de $f$ . Esto significa que usted escribe

$$f(\mathrm{x})=\int \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i = g_i(\mathrm{x})+h_i(x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n).$$

Este $g_i$ se sale de la integración, mientras que $h_i$ es la "constante de integración". Diferencie esto con respecto a $x_j$ y establecer el resultado igual a $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ . Vuelve a integrar, repite hasta que hayas pasado por todas las variables.

Método 3: Integrar cada una de las derivadas parciales y luego sólo evaluar la "constante de integración" por inspección. Por ejemplo:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=x+y \\ \frac{\partial f}{\partial y}=x+\cos(y)$$

entonces $f(x,y)=x^2/2+xy+h_1(y),f(x,y)=xy+\sin(y)+h_2(x)$ Así que "por inspección" $h_1(y)=\sin(y),h_2(x)=x^2/2$ .