La identidad más el rango finito tiene índice $0$

Question

Se supone que debo demostrar la alternativa fuerte de Fredholm en la forma $$\text{Ind}(1-K)=0$$ para cualquier operador compacto $K:H\to H$ donde $H$ es un espacio de Hilbert y $$\text{Ind}(T):=\text{dim Ker }T+\text{dim Coker }T=\text{dim Ker }T+\text{dim (Ran }T)^\perp.$$

La pista es que primero debería demostrar la igualdad $\text{Ind}(1-F)=0$ para un operador de rango finito $F$ directamente. He intentado algunas cosas pero nada prometedor hasta ahora. ¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

He intentado reducir la pregunta al caso de dimensión finita. ¿Es válido el siguiente argumento?

Dejemos que $F:H\to H$ sea un operador de rango finito en un espacio de Hilbert $H$ . Entonces $$G:=\text{Ker }F\cap(\text{Ran }F)^\perp=\text{Ker }F\cap\text{Ker }F^*\subset H$$ es un subespacio de codimensión finita, es decir $\text{dim }G^\perp=:n<\infty$ . Además $F(G^\perp)=F(H)\subset G^\perp$ desde $F=0$ en $G$ y $\langle f,F e\rangle=\langle F^* f,e\rangle=0$ para todos $f\in G$ . Así, es posible dividir $1+F$ a $(1+F|_{G^\perp})\oplus1$ en $G^\perp\oplus G$ . Entonces $$\text{dim Ker }(1+F)-\text{dim Ker} (1+F^*)=\text{dim Ker }(1+F|_{G^\perp})-\text{dim Ker} (1+F^*|_{G^\perp})$$ desde $\text{Ker }1$ es trivial.

Pero ahora estamos en el caso de dimensión finita y podemos usar esa $$\text{dim Ker }(1+F|_{G^\perp})+\text{dim Ran} (1+F|_{G^\perp})=n$$ y por lo tanto \begin{align}\text{ind}(1+F)&=\text{dim Ker }(1+F|_{G^\perp})-\text{dim (Ran} (1+F|_{G^\perp}))^\perp\\ &=\text{dim Ker }(1+F|_{G^\perp})-(n-\text{dim Ran} (1+F|_{G^\perp}))=0.\end{align}

¿Qué te parece?