¿Hay una manera de saber si un sistema que se describe por una ecuación conocida del movimiento admite una función hamiltoniana? Tomemos por ejemplo %#% $ #% donde $$ \dot \vartheta_i = \omega_i + J\sum_j \sin(\vartheta_j-\vartheta_i)$ son constantes. ¿Cómo puedo saber si existen ímpetus adecuados y un hamiltoniano?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En general, puede ser difícil saber si un determinado conjunto de ecuaciones de movimiento (moe) son parte de un (posiblemente más) conjunto de la moe de la que se puede poner en Hamiltoniana (o de Lagrange).
Específicamente, OP pregunta sobre el modelo de Kuramoto con moe
$$\etiqueta{1} \dot{\theta}_j -\omega_j ~=~\frac{K}{N}\sum_{k=1}^N\sin(\theta_k-\theta_j) ~\equiv~ K ~{\rm Im} \left( e^{-i\theta_j} \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N e^{i\theta_k} \right).$$
No encontramos una formulación Hamiltoniana de eq. (1). Sin embargo, tenemos la esperanza de que OP seguiría encontrar las siguientes consideraciones interesantes.
Como se explica en la página de la Wikipedia, el modelo de Kuramoto describe $N$ osciladores con eigen-vibratoria $\omega_1, \ldots, \omega_N$, que un par de
$$\etiqueta{2} \dot{\theta}_j -\omega_j ~=~KR\sin(\Theta\theta_j) ~\equiv~ K ~{\rm Im} \left( e^{-i\theta_j} \Phi \right),$$
con constante de acoplamiento $K$, a través de un complejo parámetro de orden
$$\tag{3} Re^{i\Theta}~\equiv~\Phi~=~\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N e^{i\theta_k}, $$
que puede ser llevado a ser constante para $N$ grande por razones estadísticas.
Considerar a partir de ahora en la versión del modelo de Kuramoto que es descrito por la ec. (2) pero sin eq. (3), por lo que el complejo parámetro de orden $\Phi$ es tratada como a una externa de parámetros complejos.
Ahora introducimos el complejo de campos de descomposición polar
$$\tag{4} \phi_j~:=~r_je^{i\theta_j}, \qquad j~\in~\{1,\ldots,N\}.$$
Consideremos a continuación la acción de Hamilton
$$\tag{5} S_H ~:=~ \int\!dt~L_H, $$
con Hamiltonianos de Lagrange
$$\tag{6} L_H~:=~ -\frac{i}{2} \sum_{j=1}^N \phi_j^{*}\dot{\phi}_j -H, $$
y con Hamilton
$$\tag{7} H ~:=~ \sum_{j=1}^N H_j , $$
donde
$$\tag{8} H_j ~:=~ \frac{1}{2}\omega_j \phi_j^{*}\phi_j + K ~{\rm Im} (\phi_j^{*}\Phi ). $$
De Euler-Lagrange las ecuaciones lee
$$\tag{9} -\frac{i}{2} \dot{\phi}_j -\frac{1}{2}\omega_j \phi_j~=~ \frac{K\Phi}{2i} , \qquad j~\in~\{1,\ldots,N\} ,$$
o en coordenadas polares
$$\etiqueta{10} \dot{\theta}_j -\omega_j r_j^2 ~=~KRr_j\sin(\Theta\theta_j) ~\equiv~ K r_j~{\rm Im} \left( e^{-i\theta_j} \Phi \right),$$
y
$$\etiqueta{11} \dot{r}_j ~=~KRr_j^2\cos(\Theta\theta_j) ~\equiv~ K r_j^2~{\rm Re} \left( e^{-i\theta_j} \Phi \right).$$
Tenga en cuenta que la ecualización. (10) se reduce a la Kuramoto modelo de eq. (2) si se le permite establecer la $r_j=1$.
RichieACC
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Como Michael Brown, pidió una explicación, he aquí una breve introducción a la geometría de la Hamiltoniana de la mecánica:
Mientras que la fórmula tradicional trabaja con conjuntos especiales de coordenadas (el 'canónica'), el diferencial-enfoque geométrico enfatiza más en estos y en su lugar introduce el simpléctica forma como la estructura característica de Hamilton espacio de fase.
Desde un punto de vista, lo que esto significa es cambiar el signo negativo que se produce en las ecuaciones de Hamilton y los corchetes de Poisson en una verdadera tensor antisimétrico para hacer una coordenada fórmula libre posible.
Si quieres saber si un conjunto dado de primer orden ecuaciones puede ser tratado (a nivel local) como de Hamilton, usted tendrá que buscar un tensor $\omega$ (más precisamente: un no-degenerada cerrado antisimétrica bilineal diferencial de la forma) que es invariante bajo la moción del sistema.
El primer fin de ecuaciones definir un campo de vectores $X$ y la condición de invariancia lee $\mathcal L_X\omega=0$ donde $\mathcal L_X$ denota la Mentira-derivativo, es decir, la diferencia en $\omega$ cuando se mueve a lo largo del flujo de $X$.
De cálculo diferencial y debido a $\mathrm d\omega=0$, por definición, esto es equivalente a $$ \mathrm d\iota_X\omega=0 $$ donde $\iota_X$ significa que la contracción con $X$, es decir, $$ \iota_X\omega\cdot)\equiv \omega(X,\cdot) $$ Hice el cálculo para Bzazz' ecuaciones en el caso de $i=1\dots2$ (la dimensión del espacio de fase es necesariamente incluso) en mi casa, pero el resultado no es particularmente útil, de Modo que tiene una condición que nos dice si un elegido simpléctica de las obras, pero en general no hay una forma obvia de encontrar (por lo menos no de manera inmediatamente obvio para mí).
Esto se vincula con Emilio Pisanty comentario: Clásica (analítico) la mecánica es normalmente en cuestión de segundo orden de los sistemas, que se pueden representar geométricamente en varias formas:
- Si usted escribe las ecuaciones de movimiento en forma explícita, se termina con un semi-spray, una sección de la segunda tangente bundle bundle $\mathrm T\mathrm TM\to\mathrm TM$
- Si se introduce el concepto de masa (un isomorfismo $\mathrm TM\to\mathrm T^*M$) que terminan con un dependiente de la velocidad de Newton, la fuerza de campo, una sección de $\mathrm T\mathrm T^*M\to\mathrm TM$
- Como $\mathrm T\mathrm T^*M$ $\mathrm T^*\mathrm TM$ son naturalmente isomorfos, podemos traducir esto a una sección de $\mathrm T^*\mathrm TM\to\mathrm TM$, lo que nos da la formulación de Lagrange - el diferencial de $\mathrm dL$ de la función de Lagrange es sólo una forma elegante de escribir un Newtoniano de la fuerza
- El uso de la masa del sistema (dado por la fibra derivado $\mathbb FL$ en la formulación de Lagrange) podemos pasar a la Hamiltoniana de imagen: El diferencial de $\mathrm dH$ de los Hamilton función nos da una sección de $\mathrm T^*\mathrm T^*M\to\mathrm T^*M$ que puede ser asignado para el campo vectorial Hamiltoniano $X$, una sección de $\mathrm T\mathrm T^*M\to\mathrm T^*M$, a través de la simpléctica canónica de la forma de la cotangente del paquete.
Esta última equivalencia entre el $\mathrm dH$ $X$ es la forma geométrica de las ecuaciones de Hamilton. Para Hamiltoniana de la mecánica, se puede olvidarse de que el paquete de la estructura de la tangente y la cotangente de los espacios y el uso arbitrario simpléctica producto, la generalización de la formalismo a una clase más amplia de los sistemas.
Normalmente, no empezamos con el primer orden ecuaciones como en Bzazz' ejemplo (donde no hay una estructura adicional está presente si no están ya en forma Hamiltoniana), sino más bien de segundo orden (donde el paquete de la estructura está implícito). Entonces, se busca una función de Lagrange, y comprobar que es hiper-regular (no-cero el determinante de la matriz Hessiana) - si este es el caso, la masa de $\mathbb FL$ (de la asignación de la velocidad a la canónica de impulso) es un isomorfismo y el sistema puede ser modelado en el Hamiltoniano de la imagen.
