Actualmente estoy haciendo un curso de Teoría de Nudos y después de mirar diferentes textos he encontrado muchas formas de definir los nudos y la equivalencia de los mismos. En nuestro curso nos dan las siguientes definiciones:
A nudo $K\subseteq\mathbb{R}^{3}$ es un subconjunto de la forma $K=f(\mathbb{R})$ donde $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ es un mapa con las siguientes propiedades.
- $f(x_{1})=f(x_{2})$ si y sólo $x_{1}-x_{2}\in\mathbb{Z}$
- El derivado $\frac{d^{n}}{dx^{n}}f$ existe para todos los $n\in\mathbb{N}$
- La derivada no es cero en todas partes, $\frac{df}{dx}\neq 0$
Nudos $K$ y $K^{\prime}$ son equivalente si existe una colección de nudos $K_{x}$ para cada $x\in\left[ 0,1\right]$ . tal que $K_{0}=K$ y $K_{1}=K^{\prime}$ y tal que existe un mapa suave $F:\left[ 0,1\right]\times \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ con la propiedad de que $F(x,\cdot )$ representa $K_{x}$ en el sentido de la definición anterior.
Creo que entiendo intuitivamente lo que ocurre aquí y que este mapa suave garantiza que no hagamos "saltos" ilegales. Al mismo tiempo estoy tomando un curso de Topología Algebraica y por el bien de mis notas me gustaría dar una definición alternativa de equivalencia más en línea con los homeomorfismos de la Topología, que si no me equivoco es esencialmente lo que está pasando aquí.
Así que yo diría que dos nudos $K$ y $K^{\prime}$ son equivalentes si existe un homeomorfismo $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ para lo cual $f(K)=K^{\prime}$ .
¿Sería esta definición satisfactoria, y si no, cómo podría cambiarla? ¿Hay alguna diferencia sustancial entre mi definición y la de mi profesor?
