Dado un número entero $n \geq 1$ , defina $\left(X_{1}^{(n)}, X_{2}^{(n)}, \ldots, X_{n}^{(n)}\right)$ como un vector aleatorio distribuido uniformemente en la bola $$ \left(X_{1}^{(n)}\right)^{2}+\left(X_{2}^{(n)}\right)^{2}+\cdots+\left(X_{n}^{(n)}\right)^{2} \leq n $$ Encontrar la distribución conjunta límite del vector aleatorio $\left(X_{1}^{(n)}, X_{2}^{(n)}, X_{3}^{(n)}\right)$ como $n \rightarrow \infty$ .
Gracias por su ayuda.
Respuesta
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Si $(X_1^{(n)},\ldots,X_n^{(n)})$ se distribuye uniformemente en $\Big\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n:||\vec{x}||^2< n\Big\}$ entonces el pdf de $(X_1^{(n)},\ldots,X_n^{(n)})$ es la función $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $$f(x_1,\dots,x_n)=\frac{\Gamma\Big(\frac{n}{2}+1\Big)}{(n\pi)^{n/2}}$$ siempre que $x_1^2+\dots+x_n^2 < n$ y $f(x_1,\dots, x_n)=0$ en otro lugar. Encontramos el pdf conjunto de $(X_1^{(n)},X_2^{(n)},X_3^{(n)})$ para ser $$f_{X_1^{(n)}X_2^{(n)}X_3^{(n)}}(x,y,z)=\int_{\mathbb{R}^{n-3}}f(x,y,z,x_4,\dots, x_n)dx_4\ldots dx_n$$ Si $x^2+y^2+z^2\geq n$ entonces $f_{X_1^{(n)}X_2^{(n)}X_3^{(n)}}(x,y,z)=0$ así que asume $x^2+y^2+z^2 < n$ para el resto de este post. Obtenemos $$f_{X_1^{(n)}X_2^{(n)}X_3^{(n)}}(x,y,z)=\frac{\Gamma\Big(\frac{n}{2}+1\Big)}{(n\pi)^{n/2}} \int_{\{x_4^2+\dots +x_n^2 < n-x^2-y^2-z^2\}}dx_4 \dots dx_n$$ Utilizando el hecho de que una bola de radio $R$ en $\mathbb{R}^{k}$ es $\frac{\pi^{k/2}}{\Gamma\Big(\frac{k}{2}+1\Big)}R^k$ tenemos $f_{X_1^{(n)}X_2^{(n)}X_3^{(n)}}(x,y,z)$ es igual a la siguiente expresión $$\frac{\Gamma\Big(\frac{n}{2}+1\Big)}{\Gamma\Big(\frac{n-3}{2}+1\Big)}\Bigg(1-\frac{x^2+y^2+z^2}{n}\Bigg)^{n/2} \frac{1}{\Big(\pi(n-x^2-y^2-z^2)\Big)^{3/2}}$$ Usando la aproximación de Stirling verás rápidamente $$ f_{X_1^{(n)}X_2^{(n)}X_3^{(n)}}(x,y,z) \rightarrow \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)}$$ como $n \rightarrow \infty$ es decir, la distribución conjunta límite de $(X_1^{(n)},X_2^{(n)},X_3^{(n)})$ es $N\Big(\vec{0},I_{3\times 3}\Big)$ .
