¿Cómo se aprenden las matemáticas?

Question

Me gustan mucho las matemáticas, pero no se me da bien aprenderlas. Me parece que me lleva mucho tiempo absorber material nuevo leyendo por mi cuenta y no he encontrado una fórmula que me funcione. Espero que algunas personas me digan cómo aprenden las matemáticas para que pueda probar sus sistemas.

Necesito saber cosas básicas.

• ¿Debo utilizar un libro a la vez o debo leer muchos libros sobre el mismo tema a la vez?

• ¿Dejas de leer cuando das con un dato que no entiendes o sigues leyendo?

• ¿Lees todo de un tirón o lo haces un poco y durante cuánto tiempo (1 hora, 2 horas o más?)

• ¿Lees todos los capítulos o haces todos los ejercicios antes de pasar a un capítulo?

• ¿Adaptas tu técnica en el Cálculo (que es un cálculo pesado) frente al Análisis (que es una prueba pesada)? Si es así, ¿cómo?

• Cuando toma notas, ¿sobre qué toma notas? ¿Haces notas mientras lees o después?

• Si cree que todas estas decisiones dependen, ¿puede decir de qué dependen?

Estoy realmente perdido aquí. Agradecería cualquier aportación.

Answer 1

Por supuesto, cada persona tiene su propio estilo de aprendizaje. He aquí algunas sugerencias generales.

Encuentre un profesor . Es duro aprender matemáticas por tu cuenta hasta que hayas alcanzado un cierto nivel de sofisticación matemática; nadie está ahí para decirte lo que es importante y lo que no lo es. Toma cursos en una universidad; como mencionó Agustí Roig, las conferencias en vídeo en la página web del MIT OpenCourseWare son una buena alternativa barata.

Leer todas las matemáticas que puedas, de todas las fuentes que puedas. Esto no se limita a los libros de texto, sino que se extiende a los libros de matemáticas populares, los blogs, los trabajos expositivos, MO, math.SE... hacer esto te acostumbrará a no entender las cosas, lo cual es importante. También te expondrá a muchas ideas fascinantes que encenderán tu curiosidad lo suficiente como para que veas el material más seriamente. Como Ravi Vakil dice:

...las matemáticas son tan ricas e infinitas que es imposible aprenderlas sistemáticamente, y si esperas a dominar un tema antes de pasar al siguiente, nunca llegarás a ninguna parte. En cambio, tendrás zarcillos de conocimiento que se extenderán lejos de tu zona de confort. Más adelante, podrás rellenar estos zarcillos y ampliar tu zona de confort; esto es mucho más fácil de hacer que aprender "hacia delante".

Una forma específica en la que aprender hacia atrás es más fácil que aprender hacia delante es que, en lugar de leer la demostración de un teorema en un libro, puedes oír hablar de un teorema sin demostración, pero recordar que alguien en un blog dijo algo vago sobre un paso crucial, y luego aprender gradualmente suficiente material que de repente puedes resolver la demostración de forma independiente. Yo he hecho esto un puñado de veces, y es bastante satisfactorio. Por ejemplo, el teorema que demostré en esta entrada del blog es clásica y muy conocida, pero nunca había visto una prueba de ella. Hice malabares con algunas ideas durante medio año hasta que descubrí cómo demostrar el lema 6 (que vi en un artículo en alguna parte, de nuevo sin demostración), y escribí una demostración. Más tarde leí una prueba en un libro real, y aunque la segunda mitad de la prueba era similar, no utilizaba el lema 6. Todavía no he visto una prueba del lema 6 en papel, aunque estoy seguro de que también es bien conocida.

Esto puede parecer más trabajo. Pero adivina lo bien que recuerde ¡este teorema y su demostración ahora!

Haga todas las matemáticas que puedas. Esto no se limita a los ejercicios de los libros de texto, sino que incluye problemas de competencia, búsqueda de pruebas alternativas de teoremas, elaboración de ejemplos concretos de teoremas abstractos, etc. Intento hacer esto lo más posible en mi blog Me mantiene alerta y es también, al menos para mí, mucho más divertido que leer un libro de texto, algo que no puedo hacer durante largos periodos de tiempo. También es la razón por la que escribo aquí tan a menudo.

Pregunta todo. Esto tiene varios aspectos. Si algo no está claro o no te motiva, pregúntate exactamente en qué punto no está claro o no te motiva. Busca a alguien que te lo explique (por ejemplo, en math.SE). Lee un artículo en un blog sobre el tema. Escribe ¡una entrada en el blog sobre ello! Pregúntate cómo se generalizan las cosas y cómo se conectan con otras cosas que conoces. (De nuevo, math.SE es bueno para esto.) Lo peor que puedes hacer es aceptar lo que te dice un libro de texto como la Palabra de Dios.

Finalmente, enseñar todas las matemáticas que puedas. Este es el otro propósito de mi blog, y es una prueba increíble de lo bien que entiendes algo. Te sorprendería lo mucho que puedes aprender sobre algo enseñándolo.

Answer 2

Se atribuye a Von Neumann la frase de que nunca se entienden las matemáticas, sino que simplemente se acostumbran a ellas. Hasta cierto punto, me parece que esto es cierto. Pero, ¿a qué te acostumbras cuando aprendes matemáticas?

1. Te acostumbras a los tipos de objetos y propiedades de los objetos que son objeto de estudio. Una forma excelente de acostumbrarse a ellos es tener ejemplos o conexiones con el material que ya se conoce, independientemente de que el propio libro proporcione dichos ejemplos o conexiones.

   Por eso, cuando leo un libro, busco ejemplos de las estructuras o propiedades que son objeto del mismo. Si es necesario, voy a buscarlos en el libro, o dejo de leer por completo para intentar inventar uno yo mismo (o encontrar uno en Internet si me resulta difícil). Si me encuentro con un teorema, intento ver cómo se cumple para estos ejemplos, y cómo fracasan los intentos de construir contraejemplos.

2. Te acostumbras a ciertas técnicas para resolver problemas. Acostumbrarse a ellas implica acostumbrarse a ver que se utilicen, acostumbrándose a aplicando y acostumbrarse a la circunstancias en los que pueden aplicarse de forma fructífera.

   Por lo tanto, en un libro, si algo del material es nuevo para mí, hago los ejercicios. Esto es así independientemente de si los ejercicios consisten en "cálculos" o "pruebas".

3. Te acostumbras a la notación. Es decir, te acostumbras a analizar la notación y a traducirla mentalmente en una descripción alternativa, a menudo más explícita, de lo que representa la nueva notación. La notación es importante para mí, ya que considero que una notación bien elegida es una ayuda para la comprensión y, por el contrario, una notación mal elegida es un obstáculo. Esto es especialmente cierto cuando la notación estándar de un campo se parece mucho a la notación estándar de un concepto significativamente diferente con el que ya estoy familiarizado.

   Por lo tanto, a medida que voy leyendo un libro, decido cuidadosamente si adoptar la notación del libro --- o inventar mi propia notación para aprender los conceptos, sin tener en cuenta el uso estándar. Forzar un cambio de notación mientras tomas notas tiene el efecto secundario de obligarte a reflexionar a menudo mientras lo haces, lo que ayuda a reforzar los nuevos conceptos; elegir conscientemente rechazar la notación estándar también te ayuda a ser más consciente de la notación que estás rechazando, y por tanto, paradójicamente, a interpretarla correctamente (ya que eres continuamente consciente de que debes distinguirla de las convenciones con las que ya estás familiarizado).

4. Uno se acostumbra a tomar las ideas de otras personas y a revisarlas -poniendo a prueba sus límites, y quizás incluso redescubriendo una generalización estándar- para adaptarlas a sus propósitos, o para llegar a una teoría más general. Esto, por supuesto, es algo que un libro de texto no puede enseñarte explícitamente. Pero, sobre todo, al ver las conexiones en otros campos, o al analizar las pruebas del libro de texto, puedes plantearte ciertas preguntas, como:

   • Dada una definición de una función o concepto en el dominio (0,1), ¿existe una interpretación natural que pueda aplicarse a los puntos límite de 0 o 1?
   • Dada una definición de un isomorfismo entre dos objetos, y suspender el requisito de invertibilidad? ¿Qué nuevas relaciones entre objetos obtengo?
   • Dada una prueba por contradicción de un resultado, ¿puedo obtener una prueba directa del mismo resultado --- quizás incluso una construcción eficiente?

Obviamente, gran parte de este proceso se ve facilitado por la toma de notas a medida que uno aprende, así que tomo notas, no sólo del material del libro, sino del trabajo que hago y de las reflexiones que hago.

Answer 3

No me considero ni de lejos un experto en esto (hay muchas cosas que he intentado aprender durante un tiempo pero he fracasado). Sin embargo, he pasado un tiempo tratando de aprender matemáticas de forma independiente, así que voy a opinar, pero esto debe ser tomado con el habitual camión de sal.

1. ¡Busca un buen libro! Es fácil perder el tiempo con un libro de texto mal escrito. Creo que esto es realmente importante. Sin embargo, cada persona tiene una idea diferente de lo que constituye un libro de texto bien escrito, por lo que puede ser conveniente mirar los libros en una biblioteca y hacerse una idea de ellos en lugar de limitarse a seguir la recomendación de otra persona.
2. Habla con la gente. No me di cuenta de lo poco que sabía de geometría algebraica hasta que tuve una charla por correo electrónico con alguien y confundí las propiedades universales del espacio proyectivo y afín menos el origen. Eso aclaró algunas cosas en mi mente.
3. No te preocupes por saltarte cosas que no son importantes. Pero intenta preguntar a alguien cuáles son las cosas importantes y las que no lo son.
4. Puede que se trate de una preferencia personal, pero a mí me gusta tomar muchas notas cuando aprendo algo, empezando por el principio. Esta es una de las razones para mantener un blog de matemáticas. Sin embargo, la creación de grandes conjuntos de notas no suele ser del todo adecuada para los blogs.

Answer 4

Creo que lo mejor es seguir el plan de estudios que una universidad publica en línea. El MIT tiene el OCW, por ejemplo. Tus preguntas dependen en gran medida de ti mismo y de lo que te funcione mejor, creo que tendrás que descubrirlo por tu cuenta.

Por ejemplo: para mí es muy difícil hacer la misma cosa durante más de dos horas, entonces cambio a otra cosa porque mi mente simplemente deja de funcionar de otra manera.

Answer 5

Me temo que no sólo no hay una ruta real hacia las matemáticas, sino que no hay una única ruta que sea buena para todos.

Yo sugeriría empezar con un solo libro, tal vez hojeando en la primera lectura las partes con las que no te sientas seguro; de esta manera podrías al menos tener una idea de lo que sucede. Después podrías releer el libro con más atención, o leer (también con atención) otro libro cuyo enfoque quizá te convenga más.

En cuanto a los ejercicios, depende de ti. A mí me parecen útiles para fijar la mente en los temas, pero demasiados ejercicios son aburridos.