Para encontrar la serie de Laurent $\psi(z)$$z= 0$, me gustaría, en primer lugar encontrar la serie de Taylor de $\psi(z+1)$ $z=0$ y, a continuación, utilizar la ecuación funcional de la función digamma.
Específicamente,
$$\begin{align} \psi(z + 1) = \frac{1}{z} + \psi(z) &= \psi(1) + \psi'(1)z + \mathcal{O}(z^{2}) \\ &= -\gamma + \zeta(2) + \mathcal{O}(z^{2}) \\ &= -\gamma + \frac{\pi^{2}}{6}z + \mathcal{O}(z^{2}) \end{align}$$
lo que implica
$$ \psi(z) = -\frac{1}{z} - \gamma + \frac{\pi^{2}}{6} z + \mathcal{O}(z^{2}).$$
Pero estoy teniendo problemas para encontrar la serie de Laurent $\psi(z)$ a los enteros negativos.
Desde $\psi(z)$ sencilla polos en los enteros negativos con residuo $-1$, sé que el primer término de la serie debe ser $ \displaystyle\frac{-1}{z+n}$.
Pero me gustaría determinar más términos en la serie.
EDITAR:
La serie parece ser $$\begin{align} \psi(z) &= - \frac{1}{z+n} + (H_{n} - \gamma)+ \Big( H_{n}^{(2)} + \zeta(2) \Big) (z+n) + \Big( H_{n}^{(3)} - \zeta(3) \Big) (z+n)^{2} \\ &+ \Big( H_{n}^{(4)} + \zeta(4) \Big) (z+n)^{3} + \Big( H_{n}^{(5)} - \zeta(5) \Big) (z+n)^{4} + \ldots \end{align}$$
SEGUNDA EDICIÓN:
Podemos encontrar el término constante mediante la evaluación de las $\lim_{z \to -n} \Big( \psi(z) + \frac{1}{z+n} \Big)$.
Desde $$ \begin{align} &\psi(z) + \frac{1}{z+n} \\ &= \psi(z+1) - \frac{1}{z} + \frac{1}{z+n} \\ &= \psi(z+2) - \frac{1}{z+1} - \frac{1}{z} + \frac{1}{z+n} \\ &= \ ... \ = \psi(z+n+1) - \frac{1}{z+n} - \frac{1}{z+n-1} - \ldots - \frac{1}{z+1} - \frac{1}{z} + \frac{1}{z+n}, \end{align}$$
tenemos $$ \lim_{z \to -n} \Big( \psi(z) + \frac{1}{z+n} \Big) = \psi(1) + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} = \psi(1) + H_{n} = H_{n} - \gamma.$$
Del mismo modo, podemos encontrar el coeficiente de la $(z+n)$ plazo mediante la evaluación de las $ \lim_{z \to -n} \frac{\psi(z) + \frac{1}{z+n} - H_{n} + \gamma}{z+n}.$
Desde $$ \psi_{1}(z) = \psi_{1}(z+n+1) + \frac{1}{(z+n)^{2}} + \frac{1}{(z+n-1)^{2}} + \ldots + \frac{1}{z^2}, $$
tenemos $$ \lim_{z \to -n} \frac{\psi(z) + \frac{1}{z+n} - H_{n} + \gamma}{z+n} = \lim_{z \to -n} \Big(\psi_{1}(z) - \frac{1}{(z+n)^{2}} \Big) = \psi_{1}(1) + H_{n}^{(2)} = H_{n}^{(2)} + \zeta(2) .$$
Y podemos encontrar el coeficiente de $(z+n)^{2}$ evaluando $ \lim_{z \to -n} \frac{\psi(z) + \frac{1}{z+n} - H_{n} + \gamma -\big( H_{n}^{(2)} + \zeta(2) \big) (z+n)}{(z+n)^{2}} . $
Desde $$\psi_{2}(z) = \psi_{2} (z+n+1) - \frac{2}{(z+n)^{3}} - \frac{2}{(z+n-1)^{3}} - \ldots - \frac{2}{z^{3}},$$
tenemos $\begin{align} \lim_{z \to -n} \frac{\psi(z) + \frac{1}{z+n} - H_{n} + \gamma -\big( H_{n}^{(2)} + \zeta(2) \big) (z+n)}{(z+n)^{2}} &= \lim_{z \to -n} \frac{\psi_{1}(x) - \frac{1}{(z+n)^{2}} -H_{n}^{(2)} - \zeta(2)}{2(z+n)} \\ &= \lim_{z \to -n} \frac{\psi_{2}(x) + \frac{2}{(z+n)^{3}}}{2} \\ &= \frac{1}{2} \Big( \psi_{2}(1) + 2 H_{n}^{(3)} \Big) \\ &= H_{n}^{(3)} - \zeta(3). \end{align}$
$ $ Y así sucesivamente.
