Supongamos que tenemos un mapa continuo $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ y existe al menos un punto $a\in\mathbb{R}^n$ satisface la secuencia $\{a,f(a),f\circ f(a),\cdots\}$ está acotado en $\mathbb{R}^n$ . ¿Podemos demostrar que el mapa $f$ tiene al menos un punto fijo?
Creo que deberíamos utilizar el teorema del punto fijo de Brouwer, ya que la secuencia está acotada podemos encontrar una bola cerrada que cubra la secuencia. Pero, ¿cómo puedo encontrar tal bola cerrada $B$ satisface $f(B)\subset B$ ? Se agradece cualquier ayuda.
