Derivadas terceras y superiores de funciones n-dimensionales

Question

Estaba pensando en las expansiones de Taylor de una función de N dimensiones y por eso me pregunté: ¿Cómo son las terceras derivadas y las superiores?
Es decir: la propia función se mapea en $\mathbb{R}$ la primera derivada en $\mathbb{R}^N$ El segundo $ \mathbb{R}^N$ x $~\mathbb{R}^N$ pero, ¿cómo puedo prever las siguientes y ulteriores? ¿Son sólo matrices de mayor dimensión?

Gracias,

Xi Tong

Answer 1

Sí, lo son... esas cosas se llaman tensores.

1. La derivada de primer orden es un objeto que toma un vector $u$ y devuelve un número (de forma lineal), es decir, la derivada direccional a lo largo de $u$ en un punto determinado. Dicho objeto puede codificarse como un vector de filas.
2. La derivada de segundo orden toma dos vectores $u,v$ y devuelve un número (de forma lineal en cada argumento por separado). En concreto, muestra lo que se obtiene si se toma la primera derivada en la dirección $u$ (en cada punto), y luego tomar la derivada del resultado en la dirección $v$ (en un punto determinado). Dicho objeto puede codificarse como una matriz.
3. La derivada de tercer orden toma tres vectores $u,v,w$ y devuelve un número (de forma lineal en cada argumento por separado). Es decir, muestra lo que se obtiene si se toma la primera derivada en la dirección $u$ (en cada punto), luego tomar la derivada del resultado en la dirección $v$ (en cada punto), y finalmente la derivada en dirección $w$ (en un punto determinado). Dicho objeto puede codificarse como una matriz tridimensional de números, utilizando tres índices como $a_{ijk}$ .