Función generadora de la transformación canónica

Question

La versión corta:

He estado leyendo unos apuntes sobre sistemas integrables/dinámica hamiltoniana, y estoy atascado en un problema: Demuestra que la transformación de coordenadas derivada mediante el método de la función generadora te da una transformación canónica.

Versión larga:

Un cambio de coordenadas $(\vec{q},\vec{p})\to (\vec{Q},\vec{P})$ se llama canónica si deja invariantes las ecuaciones de Hamilton, es decir, las ecuaciones en las coordenadas originales $$\dot{\vec{q}}=\frac{\partial H}{\partial\vec{p}},\quad \dot{\vec{p}}=-\frac{\partial H}{\partial\vec{q}}$$ equivalen a $$\dot{\vec{Q}}=\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{P}}, \quad \dot{\vec{P}}=-\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{Q}}$$ donde $\tilde{H}(\vec{Q},\vec{P})=H(\vec{q},\vec{p})$ .

El método de la función generadora:

Supongamos que tenemos una función $S:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}.$ Escriba sus argumentos $S(\vec{q},\vec{P})$ . Ahora, establezca $$\vec{p}=\frac{\partial S}{\partial \vec{q}}, \quad \vec{Q}=\frac{\partial S}{\partial \vec{P}}.$$ La primera ecuación nos permite resolver $\vec{P}$ en términos de $\vec{q},\vec{p}$ . La segunda ecuación nos permite resolver $\vec{Q}$ en términos de $\vec{q},\vec{P}$ y, por tanto, en términos de $\vec{q},\vec{p}$ . Las nuevas coordenadas $\vec{Q}$ , $\vec{P}$ que encontramos de esta manera dará una transformación canónica. Comprobar esto es sólo una cuidadosa aplicación de la regla de la cadena.

Mi problema:

Así que decidí intentar resolver esta "cuidadosa aplicación de la regla de la cadena", es decir, demostrar que la transformación obtenida mediante este método de la función generadora es canónica. No he podido hacerlo, y se agradecería mucho la ayuda con este problema.

****my progress****

por ejemplo, tratar de demostrar $\dot{\vec{P}}=-\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{Q}}$ . Pensando en $H$ como $H(\vec{q}(\vec{Q},\vec{P}),\vec{p}(\vec{Q},\vec{P}))$ y utilizando la regla de la cadena, $$\frac{\partial\tilde{H}}{\partial Q_i}=\frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}+\frac{\partial H}{\partial p_j}\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}=-\dot{p}_j\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}+\dot{q}_j\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}$$ utilizando las ecuaciones originales de Hamilton.

Mientras tanto, $$-\dot{P}_i=-\frac{\partial P_i}{\partial q_j}\dot{q}_j-\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\dot{p}_j,$$ por lo que bastará con mostrar $$\frac{\partial P_i}{\partial p_j}=\frac{\partial q_j}{\partial Q_i},\quad \frac{\partial P_i}{\partial q_j}=-\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}.$$ He podido mostrar $$\frac{\partial p_j}{\partial P_i}=\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}$$ utilizando la regla de la cadena y la simetría de las derivadas parciales. Esto nos da entonces la primera igualdad deseada, invirtiendo la matriz jacobiana: $$\left[\frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right]^{-1} =\left[\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\right]^{-1} \implies \left[\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\right] =\left[\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}\right]$$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar $$\frac{\partial P_i}{\partial q_j}=-\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}.$$

Answer 1

1. Recordemos que una transformación de coordenadas $$(q^i,p_i)\mapsto \left(Q^i(q,p,t),P_i(q,p,t)\right)\tag{1}$$ con función generadora $F$ es de la forma $^1$ $$\lambda\underbrace{(\sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i-H\mathrm{d}t)}_{~=:~\mathbb{L}_H} ~=~\underbrace{(\sum_{i=1}^nP_i\mathrm{d}Q^i -K\mathrm{d}t)}_{~=:~\mathbb{L}_K} ~+~\mathrm{d}F,\tag{2}$$ donde $\lambda\neq 0$ es una constante no nula.

2. Dado que las 2 1-formas lagrangianas $\mathbb{L}_H$ y $\mathbb{L}_K$ son la misma fuera de la cáscara hasta una derivada total y una constante multiplicativa global $\lambda$ , dan lo mismo Ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) que claramente son las ecuaciones de Hamilton en ambos casos. Por lo tanto, la transformación de coordenadas (2) deja las ecuaciones de Hamilton invariantes de forma.

3. Las ecuaciones (2) representan una noción de transformación canónica (CT), cf. por ejemplo este Puesto de Phys.SE.

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$^1$ El generador de la OP $F=S(q,P,t)-\sum_{i=1}^nP_iQ^i$ es de tipo 2 y en el caso de OP $\lambda=1$ .

Answer 2

Lo que has encontrado es básicamente otra forma de describir las transformaciones canónicas. Empecemos por calcular $$\dot{Q}_i = \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \dot{p_j} = \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \frac{\partial H}{\partial p_j} - \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \frac{\partial H}{\partial p_j}.$$ Esto tiene que ser igual a $$\frac{\partial H}{\partial P_i} = \frac{\partial H}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial P_i} + \frac{\partial H}{\partial P_j}\frac{\partial p_j}{\partial P_i}.$$ Al comparar estas dos ecuaciones se obtiene $$\frac{\partial H}{\partial p_j} \left( \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} - \frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right) = \frac{\partial H}{\partial q_j}\left(\frac{\partial q_j}{\partial P_i} + \frac{\partial Q_i}{\partial p_j}\right).$$ Dado que ninguno de los dos $\partial H / \partial p_j$ ni $\partial H / \partial q_j$ son idénticos 0, las expresiones entre paréntesis tienen que ser iguales a 0. En su caso, tendrá que demostrar que la función generadora $S$ produce una transformación que cumple con estas ecuaciones (un argumento similar para $\dot{P}_i$ da la identidad en su pregunta).

Desde un punto de vista más teórico, una transformación es canónica si se conservan los corchetes de Poisson: $$\{Q_i, Q_j\} = 0, \qquad \{P_i, P_j\} = 0, \qquad \{Q_i, P_j\} = \delta_{ij}.$$ Y desde un punto de vista aún más abstracto, alguien podría demostrar que una transformación es canónica comprobando si preserva la estructura simpléctica de las ecuaciones de Hamilton. Si $J$ es la matriz jacobiana y $E$ el $2n\times 2n$ matriz $$ E = \begin{pmatrix} 0 &\delta_{ij} \\ -\delta{ij} & 0 \end{pmatrix} $$ entonces la estructura simpléctica se conserva si $J E J^\top = E$ . Por cierto, $J$ se denomina en ese caso simpléctica.

Una transformación canónica inducida por la función generadora $S$ tiene que satisfacer las tres condiciones, pero como son equivalentes, basta con comprobar que una de ellas es verdadera.