Me doy cuenta de que carezco de intuición numérica para los logaritmos. Por ejemplo, al comparar dos logaritmos como $\log_78$ y $\log_89$ Tengo que utilizar la fórmula del cambio de base y calcular los valores con una calculadora para determinar cuál de los dos es mayor.
¿Puede alguien mostrar un método algebraico/analítico para averiguar cuál de los dos es mayor sin utilizar una calculadora?
La derivada de $f(x)=\frac{\log(x+1)}{\log(x)}$ tiene el mismo signo que $\frac{\log x}{x+1}-\frac{\log(x+1)}{x}$ que es negativo si $x>1$ desde $x\mapsto x\log{x}$ está aumentando.
Por supuesto, este método no se aplica a los arbitrarios 7,8,9. Por ejemplo $\log_35$ y $\log_23$ están bastante cerca y demostrar que uno es mayor que el otro no es tan fácil. La única forma elegante que conozco es algún tipo de truco. (¡Disfruta de este entretenido ejercicio! Spoiler más abajo).
Demostrar que $\log_35 < \frac32 < \log_23$ .
No entiendo por qué las dos expresiones tienen el mismo signo. Pero en realidad estoy buscando un método general para comparar los tamaños de dos logaritmos. Así que los números 7,8,9 de la pregunta son en realidad arbitrarios.
@dragoncharmer: $f'(x)\big(\log x\big)^2=\frac{\log x}{x+1}-\frac{\log(x+1)}x$ y $\big(\log x\big)^2>0$ para $x\ne 1$ .
Solución alternativa:
$$\log_78 > \log_89 \Leftrightarrow \frac{1}{\log_87} > \log_89 \Leftrightarrow 1> \log_87 \log_89 $$
Ahora, por AM-GM
$$\log_87 \log_89 \leq (\frac{\log_87+ \log_89}{2})^2=(\frac{\log_863}{2})^2< (\frac{\log_864}{2})^2=1$$
En general Si $ab < c^2$ y $\log_b c >0$ tienes
$$\log_ca \log_cb \leq (\frac{\log_ca+ \log_cb}{2})^2< 1$$
y así
$$\log_ca < \log_bc \,.$$
Considere la función $ f(x)=\log_x(x+1)$
Se trata de una función decreciente, por lo que $\log_n(n+1) >\log_m(m+1)$ para $n < m$ y por lo tanto $\log_78 > \log_89$ .
$f(x)$ disminuye porque, $f'(x)$ resulta negativo,
$$f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}$$
$$f '(x)=\frac{1}{(x+1)\ln x} + \ln(x+1).\frac{-1}{{(\ln x)}^2}.\frac{1}{x}$$
$$f '(x)=\frac{1}{\ln x}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{f(x)}{x}\right)$$
y puesto que $f(x)<1$ para $x \in \mathbb R^+$ tenemos $f'(x)<0$ .
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$\log_x(x+1)=\log(x+1)/\log(x)$ es decreciente para $x>1$ pero no sé cómo probarlo...
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@lhf: $\frac{\log(x + 2) / \log (x + 1)}{\log(x + 1) / \log(x)} = \frac{\log(x + 2) \log(x)}{\log(x + 1)^2}$ . Ahora $\frac{(x + 2)x}{(x + 1)^2} < 1$ (áreas rectangulares), y puesto que $\log$ es cóncava, lo mismo debe ocurrir cuando se aplica $\log$ a cada factor.