Tengo entendido que las expresiones a ambos lados del signo igual son la misma entidad, y sé que cuando se modifica un lado, el otro debe cambiar porque se refiere a lo mismo. Lo que no entiendo es por qué hacer una nueva ecuación (añadir o tomar de una expresión) permite conocer lo que representa una incógnita. ¿Qué ecuaciones nos permite hacer esto?
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grjj3
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He aquí una manera de mirarlo: si $a=b$, entonces $f(a)=f(b)$, no importa la función $f(x)$.
Desde este punto de vista, la solución de una ecuación equivale a la aplicación de una secuencia de funciones con el fin de generar una ecuación cuyas soluciones son fáciles de leer. Lo que este tipo de argumento muestra es que las nuevas ecuaciones son las consecuencias lógicas de la ecuación original.
Así, por ejemplo, supongamos que estás dado que $$x+1=2$$ y usted quiere restar uno de ambos lados. A continuación, basta con aplicar la función $f(s)=s-1$, con un rendimiento de $$x=f(x+1)=f(2)=1$$
No hemos hecho? Hemos aislado de $x$, así que ¿qué más hay que hacer? El problema es que la escuela secundaria nos entrena para dejar de pensar que una vez que lleguemos a este punto. (De hecho se nos entrena de no pensar en lo que estamos haciendo en todos y en lugar de confiar en el proceso para hacer pensar por nosotros. Pero la manipulación de los símbolos, por sí mismo, no constituye un matemático argumento. Los expertos a menudo omiten los detalles, pero es porque no sabe cómo llenar en caso de que sea necesario; los principiantes deben aprender a llenar en la lógica de los detalles por encima y más allá de la manipulación de símbolos.)
De hecho, hay algunas sutilezas aquí. Primero de todo, sólo porque esta última ecuación es una consecuencia de la ecuación original no significa que la última implica el original. (Que vendrían a ser el error muy común de pensar de un condicional y su opuesto, son lógicamente equivalentes.) En otras palabras, para una función arbitraria $f(a)=f(b)$ necesidad no implica que $a=b$: la operación se realiza en ambos lados puede no ser reversible. (Fue en el ejemplo que acabo de dar, porque la función que he aplicado es lineal, y todos (no constante) de las funciones lineales tienen inversas, que no requieren restricciones de dominio, lo que hace que la transformación "reversible". Por desgracia, en la escuela casi todos los ejemplos que empezar con son lineales, por lo que tenemos en nuestra intuición acerca de la ecuación de problemas entrenados en una muy especial conjunto de ejemplos, que no muestran lo que puede suceder en general).
El fracaso de $f(a)=f(b)$ implica $a=b$ explica por qué ciertas operaciones, por ejemplo, el cuadrado ambos lados-podría generar "soluciones extrañas." Pongo entre comillas la frase, porque es algo de un nombre inapropiado: ellos no son en realidad soluciones a la (original) de la ecuación, precisamente porque son extraños. Así, por ejemplo, si se aplica la función $f(s)=s^2$ a la ecuación $$x=1$$ deduce que $x^2=1$. Usted podría aplicar la función $g(s)=\sqrt{s}$ deducir $|x|=1$. En esta etapa se podría analizar el problema en los casos (dependiendo de si $x$ es positivo o negativo) usando la definición de valor absoluto y deducir que, o bien $x=1$ o $x=-1$. Pero esto no significa que la respuesta es una solución de la ecuación original. (Obviamente, $x=-1$ no satisface la ecuación original!) Eso es porque el segundo paso, de elevarlo al cuadrado ambos lados, no es reversible. La cadena de implicación no fluye todo el camino hacia atrás.
Otra sutileza es que la aplicación de una cierta transformación a ambos lados pueden requerir que usted haga una suposición sin siquiera darse cuenta de ello. En otras palabras, algunas operaciones, tales como la división por $x$, tácitamente llevar a ciertas restricciones. La función $f(s)=\frac{s}{x}$, por ejemplo, requiere que $x\neq0$; de lo contrario, el valor de la función no tiene sentido. Así que si usted tiene $$x^2=x$$ y aplicar la función $f(s)=\frac{s}{x}$ a ambos lados, está tácitamente suponiendo que $x\neq0$. Es por eso que en otros casos, usted podría perder soluciones en lugar de generar extraños.
Por supuesto, no todas las ecuaciones tienen soluciones. Por ejemplo, la aplicación de $f(s)=s-x$ a de la ecuación $$x=x+1$$ los rendimientos de $0=1$. Lo que este argumento muestra que $$(\exists x)(x=x+1)\implies0=1$$ Por contraposición, llegamos a la conclusión de que $$\lnot(\exists x)(x=x+1)$$ o en otras palabras que no existe un valor de $$ x que satisface la ecuación $x=x+1$, porque suponiendo que no es un valor que nos lleva a una contradicción. (Como se ilustra en este ejemplo, si tenemos que ser totalmente rigurosos, deberíamos prestar atención a los cuantificadores. Pero eso es más de lo que usted está preguntando.)
Y algunas de las ecuaciones que son, en realidad, la verdadera para todos los valores de las variables. Tales ecuaciones se denominan identidades. Un ejemplo tonto es $$x=$x$ pero un poco más interesante ejemplo es $$x^2-1=(x+1)(x-1)$$ Si tratas de resolver las identidades como este, podrá producir una tautología como $0=0$.
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Para lo que vale, puede también extender esta idea a la lógica de las desigualdades. Si se aplica una función $f(x)$ para la instrucción $a<b$, normalmente igual a la conclusión de algo así como $f(a)<f(b)$ o $f(a)>f(b)$. En otras palabras, usted quiere saber si el proceso conserva el sentido de la desigualdad o invierte.
Pero para llegar a una conclusión, por lo general necesita saber si $f(x)$ es creciente, es decir, $a<b\ffi f(a)<f(b)$ -- o decreciente, es decir, $a<b\ffi f(a)>f(b)$ -- en el intervalo de $a$ a $b$. Así, por ejemplo, $f(x)=x+2$ es siempre creciente, y $g(x)=-x$ es siempre decreciente, por lo que la aplicación de $f$ a $a<b$ rendimientos $$a+2=f(a)<f(b)=b+2$$ pero la aplicación de $g$ rendimientos $$-a=g(a)>g(b)=b$$ Este segundo hecho es justo lo que queremos decir cuando hablamos de "multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por un número negativo, se invierte el sentido de la desigualdad." Es simplemente una consecuencia del hecho de que la función $f(x)=-x$ es decreciente.
Cómo sobre el cuadrado ambos lados de una desigualdad? En ese caso estamos tratando con la función $h(x)=x^2$. Bien, $h(x)$ es la disminución de $(-\infty,0)$ y aumentando en $(0,\infty)$, así que tienes que ser cuidadoso acerca de "el cuadrado de los dos lados" de una desigualdad. Si $a<b$ y $b<0$, entonces $h$ es la disminución en $(a,b)$, entonces $$a^2=h(a)>h(b)=b^2$$pero si $a>0$, entonces la desigualdad se invierte.
EN RESUMEN...
La moraleja de esta historia es: cuando haces algo que a ambos lados de una ecuación o desigualdad, pensar cuidadosamente acerca de qué función se va a aplicar.
En particular, piensa si (a) es invertible en el mismo dominio que comenzar con, y (b) si su aplicación requiere que usted haga todas las suposiciones. Para las desigualdades, usted también querrá pensar acerca de si (c) la función es creciente o decreciente en el intervalo definido por la desigualdad está empezando.
Anthony Cramp
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Robin M
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Si le sucede a ser un más visual o manual pensador, tratar de visualizar cada ecuación como un conjunto de masas en cada lado de un equilibrio. Los números son los mármoles, cuya masa se sabe exactamente, y las variables son "manchas", cuya masa en primera no es conocido y que están tratando de averiguar. El signo igual es el punto de apoyo de la balanza.
Por ejemplo, $5x + 3 = 18$ significa que en un lado de la balanza dispone de cinco notas y tres canicas, y en el otro lado tiene 18 canicas. El equilibrio es el nivel.
Ahora, si se quita algunas canicas de un lado, la balanza se inclina hacia el otro lado, y si se agrega a las canicas, que se inclina hacia ese lado. En el fin de mantener las cosas en el nivel, debe agregar o eliminar la misma cantidad de ambos lados al mismo tiempo.
En el ejemplo, vamos a eliminar tres canicas de cada lado. Que deja a 5 blobs en la izquierda, y el 15 de canicas en el derecho, $5x = 15$.
Ok, se pone un poco más difícil para la división. Aquí, usted querrá pensar de la toma de la principal, el equilibrio y la distribución de la carga sobre un grupo de pequeños saldos. Si usted toma las notas de la gran equilibrio y poner cada una en un lado de cinco pequeños saldos, todos se momentáneamente estar inclinada. Para traer de vuelta a nivel de mover las canicas de los principales equilibrio para los más pequeños, hasta que todo vuelve a su nivel. Esto sucederá con tres canicas en cada pequeño balance. Ahora tiene cinco balances pequeños, cada uno con un blob en un lado, y tres canicas en el otro. Por lo tanto $x = 3$.
Espero que esta explicación verbal es clara. Yo no puedo hacer fotos de este equipo, pero si te gusta, voy a tratar de agregar algo para el fin de semana, desde otro lugar.
Husky
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Para responder a la última parte de tu pregunta:
¿Qué ecuaciones nos permite hacer esto?
Las propiedades aditivas y multiplicativas de la igualdad.
Aditivo: Si a - b = c, entonces a - b + b = c + b, o a = c + b
Multiplicativo: Si un / b = c y b no = 0, entonces b * a / b = b * c, o a = b * c
King Squirrel
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Piénsalo de esta manera, equilibra la ecuación. Si tienes alguna ecuación como x 2 = 10 y quieres encontrar x, usted puede hacerlo que quieras a un lado de la ecuación como lo haces a la otra para balancear hacia fuera. Yo puedo dividir la 2 a la izquierda pero eso significa que tengo que dividir el lado derecho por 2 también. Esto me da x = 5.
