¿Cómo se puede calcular el término central del álgebra de la teoría de campo conforme (y demostrar que es realmente el álgebra de virasoro)?

Question

Así que estoy siguiendo el libro de Szabo "An Introduction to String Theory and D-brane Dynamics (2nd ed, 2011); todavía en el tratamiento canónico en el capítulo 3. Después de hacer una expansión de modos, obtenemos (hasta una constante) un conjunto de bonitos operadores de escalera \begin{equation}[\alpha_m^\mu, \alpha_n^\nu] = m\delta_{m+n}\eta^{\mu\nu}\end{equation} donde $\delta_{m+n}$ es la unidad si $m=-n$ y cero en caso contrario; $\eta$ es la métrica de Minkowski en D dimensiones, $m$ y $n$ son etiquetas enteras y el $\alpha$ s son los coeficientes de Fourier. Omitiré los conjuntos LM/RM y me concentraré en la cuerda abierta.

Los utilizamos para definir estos operadores compuestos: \begin{equation} L_n = \frac{1}{2}\sum\limits_{m=-\infty}^\infty{\alpha_{n-m}\cdot\alpha_m}\end{equation} que queremos utilizar para generar transformaciones conformes. Genial.

Así que necesitamos un álgebra parecida a la de Witt, y como estamos cuantificando esperamos alguna rareza, y resulta que se obtiene el álgebra de Virasoro. Pero no puedo entender el término central. Para empezar, no parece correcto: cada par de $\alpha$ s me puede dar un factor de m, por lo que tener \begin{equation}[L_m,L_n]\end{equation} , tenemos cuatro $\alpha$ s y, por tanto, esperaríamos poder extraer algún término central de orden $n^2$ . Pero el término central de Virasoro es $n(n^2-1)$ - Entonces, ¿de dónde viene la n extra? No hay sumas convenientemente situadas que puedan dar lugar a esto. Cada vez que intento hacer una operación de álgebra, me sale una tontería, por ejemplo $\sum\limits_{p=-\infty}^\infty p$ . ¡Así que no hay término central en absoluto!

Así que la raíz de mi pregunta es: ¿de dónde viene la n extra? Si puedo entender eso, espero poder hacer el resto de la derivación yo mismo (no me quites la diversión:)).

Answer 1

La solución a este problema, que Szabo da en el apéndice, es algo engañosa ya que invoca la regularización de la $\zeta$ mientras que el término central surge de las sumas ordinarias de la siguiente manera.

Para empezar, podemos reescribir los operadores de Virasoro haciendo explícita la ordenación normal: $$ L_n=\frac{1}{2}:\!\left( \sum_{k\in\mathbb N}\alpha_{n-k} \cdot \alpha_k \right)\! := \frac{1}{2}\sum_{k\ge n/2}\alpha_{n-k} \cdot \alpha_k +\frac{1}{2}\sum_{k< n/2}\alpha_{k} \cdot \alpha_{n-k} $$ $$ L_0=\frac{1}{2}\alpha_0^2+\sum_{k\ge 1}\alpha_{-k}\cdot \alpha_k. $$ Utilizando las relaciones de conmutación $$ [\alpha^\nu_n,\alpha^\rho_m]=n\delta_{n+m}\eta^{\nu\rho} $$ se obtiene inmediatamente $$ [L_n,\alpha_m^\mu]=-m \alpha_{m+n}^\mu; $$ utilizando esta relación, tenemos $$ [L_n,L_m]=\frac{1}{2}\left[ L_n, \sum_{l\ge m/2}\alpha_{m-l} \cdot \alpha_l +\sum_{l< n/2}\alpha_{l} \cdot \alpha_{m-l} \right]=\\ = \frac{1}{2}\left[ \sum_{l\ge m/2}(-m+l)\alpha_{n+m-l}\cdot \alpha_l+ \sum_{l\ge m/2}(-l)\alpha_{m-l}\cdot \alpha_{n+l}+\\ \sum_{l<m/2}(-l)\alpha_{n+l}\cdot \alpha_{m-l}+ \sum_{l<m/2}(-m+l)\alpha_l\cdot \alpha_{n+m-l} \right]. $$ Ahora bien, en esta expresión si $m+n\not=0$ cada par de $\alpha$ se conmutan y, por lo tanto, se puede reordenar la H.R. dejando que $l=l'-n$ en el segundo y tercer término $$ (n-m)\frac{1}{2}\sum_{l\in \mathbb Z} \alpha_{n+m-l}\cdot \alpha_l = (n-m)L_{n+m}. $$ Consideremos ahora el caso $m=-n$ y que $n>0$ $$ [L_n,L_{-n}]=\\= \frac{1}{2}\left[ \sum_{l\ge -n/2}(n+l)\alpha_{-l}\cdot \alpha_l+ \sum_{l\ge -n/2}(-l)\alpha_{-n-l}\cdot \alpha_{n+l}+\\ \sum_{l<-n/2}(-l)\alpha_{n+l}\cdot \alpha_{-n-l}+ \sum_{l<-n/2}(n+l)\alpha_l\cdot \alpha_{-l} \right] $$ cambiando el signo de la suma en las dos últimas sumas $$ \frac{1}{2}\left[ \sum_{l\ge -n/2}(n+l)\alpha_{-l}\cdot \alpha_l+ \sum_{l\ge -n/2}(-l)\alpha_{-n-l}\cdot \alpha_{n+l}+\\ \sum_{l>n/2}(l)\alpha_{n-l}\cdot \alpha_{-n+l}+ \sum_{l>n/2}(n-l)\alpha_{-l}\cdot \alpha_{l} \right] $$ desplazando las dos sumas medias y sumando términos similares $$ \frac{1}{2}\left[ (2n) \sum_{l>n/2}\alpha_{-l}\cdot \alpha_l + \sum_{-n/2\le l \le n/2}(n+l)\alpha_{-l}\cdot \alpha_l+ (2n)\sum_{l\ge n/2} \alpha_{-l}\cdot \alpha_l + \sum_{-n/2<l<n/2}(n+l)\alpha_{-l}\cdot \alpha_l \right]. $$ Entre estas sumas, los únicos términos que necesitamos conmutar para lograr un ordenamiento normal son las mitades inferiores de las sumas segunda y cuarta: $$ \sum_{-n/2\le l \le-1}(n+l)\alpha_{-l}\cdot \alpha_l+ \sum_{-n/2<l\le -1}(n+l)\alpha_{-l}\cdot \alpha_l=\\= \sum_{1\le l\le n/2}(n-l)\alpha_{l}\cdot \alpha_{-l}+ \sum_{1\le l < n/2}(n-l)\alpha_{l}\cdot \alpha_{-l}=\\= \sum_{1\le l\le n/2}(n-l)\alpha_{-l}\cdot \alpha_{l}+D\sum_{1\le l \le n/2}l(n-l)+ \sum_{1\le l < n/2}(n-l)\alpha_{-l}\cdot \alpha_{l}+D\sum_{1\le l<n/2}l(n-l) $$ donde $D=d+1$ es el número de dimensiones del espacio-tiempo ( $d$ dimensión espacial); ahora cada término del operador es normal ordenado y poniendo todo junto tenemos $$ (2n)\left[\sum_{l\ge 0}\alpha_{-l}\cdot \alpha_l+\frac{1}{2}\alpha_0^2\right]+ D\sum_{1\le l \le n/2}l(n-l)+ D\sum_{1\le l < n/2}l(n-l) $$ el número c puede calcularse utilizando $$ \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\qquad \sum_{i=1}^ni^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6};$$ De hecho, tomando como ejemplo $n$ para estar en paz, tenemos $$ D\left[ n\frac{n(n+2)}{8}-n\frac{(n+2)(n+1)}{24} + n\frac{n(n-2)}{8}-n\frac{(n-2)(n-1)}{24} \right]=D\frac{n}{12}(n^2-1). $$ En resumen $$ [L_n, L_{-n}]=(2n)L_0 + D\frac{n}{12}(n^2-1), $$ por lo que $$ [L_n,L_m]=(n-m)L_{n+m}+\delta_{n+m}D\frac{n}{12}(n^2-1). $$

Answer 2

La derivación de la Álgebra de Virasoro es obviamente un cálculo muy importante en la ST/CFT. Para empezar, OP (v1) no menciona explícitamente el pedido normal ": :" en la definición de los generadores de Virasoro

$$ L_n ~=~ \frac{1}{2}\sum_{k\in\mathbb{Z}} :\alpha^I_{n-k}\alpha^I_k: $$

La ordenación normal es importante para $L_0$ . Aquí el índice $I$ recorre las dimensiones transversales. Recomendamos dividir el cálculo en dos casos: $n+m\neq 0$ y $n+m=0$ . No vamos a estropear más la diversión para OP, pero sólo mencionar que una derivación pedagógica se puede encontrar, por ejemplo, en la Ref. 1.

Referencias:

1. B. Zwiebach, Un primer curso en ST, 2ª edición, 2009, p. 256. (Obsérvese que la presentación en la 2ª edición ha mejorado con respecto a la 1ª).