Probabilidad de que una variable de Poisson sea mayor que otra

Question

Dadas dos distribuciones de Poisson con valores diferentes, si cada una produjera una única variable aleatoria, ¿existe una expresión de forma cerrada para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria sea mayor que la otra?

Answer 1

Tomemos dos variables aleatorias poisson $A$ y $B$ con medios $\lambda_A$ y $\lambda_B$ respectivamente. Vemos que

$$P(A > B) = \sum_{k = 0}^{\infty} P(A > B | B = k)P(B = k)$$ $$=\sum_{k=0}^{\infty} P(A \geq k + 1)P(B = k) = \sum_{k= 0}^{\infty} \left(\sum_{l=k+1}^{\infty} \frac{\lambda_A^{l} e^{-\lambda_A}}{l!} \right)\frac{\lambda_B^k e^{-\lambda_B}}{k!}.$$

Generalmente, esto es difícil de calcular para un resultado general, pero la idea clave detrás de esto es condicionar el valor de una de las variables.