Análisis real: Secuencia cuyo conjunto de puntos de agrupación es otra secuencia (estrictamente creciente)

Question

La pregunta en la que estoy trabajando es:

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia fija (y no especificada) estrictamente creciente de números reales. Encontrar (con prueba) una secuencia $(b_n)$ cuyo conjunto de puntos de cluster es precisamente $(a_n)$ .

Sin embargo, no veo cómo puede ser esto cierto. Por ejemplo, dejemos que $a_n := \sum_{i = 0}^n 10^{-i}$ . Entonces $(a_n)$ es estrictamente creciente, y su límite es $\frac{10}{9} = L$ . Supongamos que $(b_n)$ fuera una secuencia tal que sus puntos de agrupación fueran exactamente los puntos de $(a_n)$ .

Entonces, porque $a_n \to L$ para cualquier $\varepsilon > 0$ tenemos algunos $N$ de manera que para todos $n \geq N$ , $d(a_n, L) < \varepsilon / 2$ y $d(b_i, a_n) < \varepsilon / 2$ para algunos $b_i$ (porque $a_n$ es un punto de agrupación de $(b_n)$ ), por lo que $d(b_i, L) \leq d(b_i, a_n) + d(a_n, L) < \epsilon$ . La elección de tal $b_i$ para cada $a_n$ da una sucesión de $(b_n)$ , $(b_{n_i})$ para que $b_{n_i} \to L$ Así que entonces $L$ es un punto límite de $(b_n)$ . Entonces $L$ debe ser un punto en $a_i$ . Pero no hay $n$ para que $\sum_{i = 0}^n 10^{-i} = \frac{10}{9}$ .

Así que $(a_n)$ es una secuencia estrictamente creciente de números reales para la que no puede haber ninguna secuencia cuyos puntos de agrupación sean exactamente $(a_n)$ .

Answer 1

Sólo tienes que diseñar una secuencia $(b_n)$ que se acerca arbitrariamente a cada punto de $(a_n)$ . Tiene total libertad para elegir el $b_n$ 's. Por ejemplo, la secuencia $(b_n)$ podría comenzar dentro de $1$ de $a_1$ sus dos próximas legislaturas podrían estar dentro de $\frac12$ de $a_1$ y $a_2$ Los próximos tres mandatos podrían estar dentro de $\frac13$ de $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ etc. Su trabajo es demostrar que tal $(b_n)$ satisface los requisitos de su problema.

EDIT: Como se discute en los comentarios, cualquier construcción de $b_n$ también recogerá $\lim a_n$ como punto de agrupación de $(b_n)$ , a menos que la secuencia $(a_n)$ no tiene límites. Cuando $(a_n)$ está acotado, el argumento de la OP muestra cómo $\lim a_n$ será un punto de agrupación de $(b_n)$ .