Técnicas para acotar el ángulo entre dos vectores propios de una matriz

Question

¿Existen técnicas para acotar el ángulo entre los vectores propios de una matriz? ¿O un límite inferior en la cantidad relacionada del número de condición de la matriz de vectores propios? En particular, estoy buscando límites que dependen de la diferencia de los valores propios correspondientes, con ángulos más grandes cuando los valores propios están más separados.

En el caso de las matrices simétricas (y más generalmente de las matrices normales) los ángulos son, por supuesto, todos los ángulos rectos. Estoy buscando técnicas que se apliquen a las matrices no normales.

(La clase particular de matrices que me interesa son las matrices estocásticas con traza $n-1$ como se describe en mi pregunta anterior Límites de $||P^{k+1} - P^k||$ para $n$ por $n$ matriz estocástica $P$ con rastro $n-1$ y enteros $k>>n$ . .)

Answer 1

He aquí una generalización del resultado de que los vectores propios de una matriz simétrica real con valores propios distintos son ortogonales:

Dejemos que $x$ y $y$ sean valores propios unitarios de una matriz real $A$ con valores propios $\lambda$ y $\mu$ respectivamente. Entonces $$ \lambda\langle x,y\rangle =\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^\mathrm{T}y\rangle =\langle x,Ay\rangle-\langle x,(A-A^\mathrm{T})y\rangle =\overline{\mu}\langle x,y\rangle-\langle x,(A-A^\mathrm{T})y\rangle. $$ Reordenando y aplicando las desigualdades estándar se obtiene entonces $$ |\langle x,y\rangle| \leq\frac{\|A-A^\mathrm{T}\|_2}{|\lambda-\overline{\mu}|}. $$ El numerador de esta fracción tiene un sentido intuitivo, ya que cualquier correlación entre los vectores propios debe provenir de la parte asimétrica de la matriz. Además, el denominador proporciona la relación que sugieres en tu pregunta, especialmente cuando los valores propios son reales.