Solución de una ecuación diferencial con coeficientes no constantes

Question

Me gustaría resolver la siguiente ecuación diferencial en la incógnita $v(r)$ :

$$\frac{d^2v}{d r^2}+\frac{2}{r}\frac{d v}{d r}+\left(\frac{\omega^2}{c^2}-\frac{2}{r^2}\right)v+f(r)=0$$

en el dominio $R_1<r<R_2$ ( $R_1>0$ y $R_2>0$ ).

$\omega,c\in\mathbb{R}$ , mientras que $f(r)$ es una función regular sobre r.

¿Cómo puedo encontrar 2 soluciones independientes de la ecuación homogénea?

Después, ¿puedo utilizar el método de variación de constantes para encontrar la solución general de la ecuación diferencial?

Answer 1

Tenemos \begin{align*} \frac{d^2v}{d r^2}+\frac{2}{r}\frac{d v}{d r}+\left(\frac{\omega^2}{c^2}-\frac{2}{r^2}\right)v+f(r)&=0 \\ r^2\frac{d^2v}{d r^2}+2r\,\frac{d v}{d r}+\left(\frac{\omega^2r^2}{c^2}-2\right)v&=-r^2f(r). \\ \end{align*} Este es exactamente el ecuación diferencial esférica de Bessel con $n=1$ y $k=\omega/c.$ La solución de la ecuación homogénea es por tanto $$v_h(r)=c_1\, j_1\!\left(\frac{\omega r}{c}\right)+c_2\,y_1\!\left(\frac{\omega r}{c}\right). $$ La variación de los parámetros para obtener la solución general completa es bastante difícil. Va a implicar integrales con $f$ en el interior. Mathematica produce \begin{align*} v(r)&= j_1\!\left(\frac{r \omega}{c}\right) \int _1^r\frac{\omega f(s) \,s^2 \,y_1\!\left(\frac{\omega s}{c}\right)}{c}\,ds\\ &-y_1\!\left(\frac{r \omega}{c}\right) \int _1^r\frac{\omega f(t)\, t^2 \,j_1\!\left(\frac{\omega t}{c}\right)}{c}\,dt\\ &+c_1 \,j_1\!\left(\frac{r \omega}{c}\right)+c_2 \,y_1\!\left(\frac{r \omega}{c}\right). \end{align*} Así que puedes ver que es bastante parecido al análisis de Fourier - este es el patrón que se obtiene a menudo con funciones especiales, si son ortogonales.