Clase de equivalencia finita misma cardinalidad

Question

Para una relación de equivalencia $\sim$ si cada partición tiene un número finito de elementos, y $X$ es un conjunto infinito, entonces es cierto que $|X/\sim|=|X|$ ?

Puedo demostrar la inyectividad de una manera definiendo el mapa $f:X/\sim\rightarrow X$ eligiendo un elemento de la clase de equivalencia, pero no estoy seguro de cómo lo haría de la otra manera.

Answer 1

El conjunto de cocientes $X / {\sim}$ es una partición de $X$ en conjuntos finitos $[X]_i$ con $i < |X / {\sim}|$ (el axioma de elección aquí está implícito: $i$ es un ordinal menor que el número cardinal $|X / {\sim}|$ ).

Mapa de cada uno $f_i : [X]_i \to \omega \times \{ i \}$ de forma inyectiva ya que son finitas.

Toma el sindicato $\displaystyle \bigcup_{i < |X / {\sim}|} f_i : X \to \omega \times |X / {\sim}|$ que es inyectiva, ya que las imágenes de las funciones componentes son disjuntas.

Así que tenemos $$|X| \le |\omega \times X / {\sim}| \le |\omega \times X| = |X|$$ desde $X$ es un conjunto infinito.

$|\omega \times X / {\sim}| = | X / {\sim}|$ porque $X / {\sim}$ es infinito (fácil de ver porque si no, $X = \bigcup X / {\sim}$ es la unión finita de conjuntos finitos).

Answer 2

Asumiendo el axioma de elección (al menos para familias de conjuntos finitos) entonces la respuesta es sí.

La razón por la que te resulta algo difícil continuar es precisamente esta, se necesita el axioma de elección y no podemos hacerlo realmente de forma explícita. Permítanme dar uno de los ejemplos clásicos.

Decimos que $S$ es un Conjunto Russell si $S$ puede escribirse como una unión disjunta de pares $P_n$ donde $n\in\Bbb N$ pero $S$ no tiene un subconjunto contablemente infinito. Esto equivale a decir que el producto de cualquier conjunto infinito de los pares es vacío, o en palabras sencillas: no hay ninguna función de elección de familias infinitas de pares en $S$ .

Claramente $\mathscr P=\{P_n\mid n\in\Bbb N\}$ es una partición de $S$ en pares, que son conjuntos finitos, pero no es cierto que $|\mathscr P|=|S|$ . De hecho, ni siquiera es cierto que $|\mathscr P|\leq|S|$ Lo cual es un hecho aún más inquietante.

Así que realmente necesitamos el axioma de la elección. Y este ejemplo se generaliza fácilmente para sustituir el número de pares por cardinales más grandes, en cuyo caso podemos incluso salvar algunas otras formas limitadas de elección (elección contable, por ejemplo), y seguir teniendo estos conjuntos extraños en nuestro universo.