Determinación de la función de peso en el problema de Sturm Liouville

Question

Al elegir la función de peso adecuada $\sigma (x) $ resolver el problema de Sturm-Liouville y determinar sus valores y funciones propias.

$$ \frac{d}{dx}\left[x\frac{dy(x)}{dx}\right] + \frac{2}{x}y(x) +\lambda \sigma (x)y(x)=0,\; y'(1)=y'(2)=0,\; 1 \leq x \leq 2. $$

No entiendo qué significa "elegir" la función de peso adecuada. He intentado reescribir el problema de esta forma.

$$\frac{1}{\sigma(x)}\left[\frac{d}{dx}\left[x\frac{dy(x)}{dx} + \frac{2}{x}y(x)\right] +\lambda\sigma(x)=0\right], $$

y luego calcularlo fijando $p(x)=A(x)\sigma (x), p'(x)=B(x)\sigma(x)$ y utilizando esta fórmula:

$$\sigma(x)=e^{\int \frac{A-B'}{B}\,dX}, $$ pero no me lleva a ninguna parte; resolver esto te da sólo $1=1.$

Intenté extraer información sobre la función de peso de la condición de contorno pero también estoy fallando en eso y traté de resolver la ecuación diferencial usando una serie infinita pero eso tampoco funcionará debido a la función de peso desconocida. ¿Algún consejo?

Answer 1

Creo que el problema puede ser un poco más fácil de lo que estás haciendo ver; la mayoría de las veces, simplemente puedes leer lo que debería ser la función de peso. Véase este enlace para ver una tipografía de algunos apuntes que obtuve sobre los problemas de SL, incluyendo un pdf descargable.

Para tu problema, tienes que dar un masaje a la ecuación en la forma correcta, a partir de la cual puedes simplemente leerla: \begin{align*} \frac{d}{dx}\left[x\frac{dy(x)}{dx}\right] + \frac{2}{x}y(x) +\lambda \sigma (x)y(x)&=0\\ \frac{d}{dx}\left[x\frac{dy(x)}{dx}\right] + \frac{2}{x}y(x)&=-\lambda \sigma (x)y(x); \end{align*} entonces sólo necesitas una función de peso positivo. La esperanza es que alguna combinación de $\sigma(x)$ o $\lambda\sigma(x)$ o $-\lambda\sigma(x)$ o $-\sigma(x)$ es positivo.

Como alternativa, puede ver $1/x$ como función de ponderación escribiendo como $$\frac{d}{dx}\left[x\frac{dy(x)}{dx}\right]+\lambda \sigma (x)y(x)=- \frac{2}{x}y(x).$$ Dependiendo de cómo $\sigma(x)$ se comporta, esta puede ser la única opción, ya que $1/x$ no cambia de signo en su intervalo.

Answer 2

Para una EDO genérica de 2º orden (homogénea):

$ a(x)y''(x) + b(x)y'(x) +c(x)y(x) = 0 $

Para transformarlo a la forma de Sturm Liouville necesitas:

$ a(x)>0$ y $a,b,c$ para ser en continuo en el intervalo de definición.

Ahora la función de peso se define como sigue:

$w(x) = \dfrac{1}{a(x)}e^{\int \frac{b(x)}{a(x)}dx}$

Ahora nos fijamos:

$ p(x) = w(x)a(x)\\ q(x)=w(x)c(x)$

Para hacer una comprobación de cordura encuentre $p'(x)$ que es $b(x)w(x)$

así que ahora puedes reescribir el DE a:

$\dfrac{1}{w(x)} \left[ w(x)a(x)y'' + w(x)b(x)y' + w(x)c(x)y \right] =0\\ \dfrac{1}{w(x)} \left[ p(x)y'' + p'(x)y' + q(x) \right] = 0\\ \dfrac{1}{w(x)} \left[ (p(x)y')' + q(x) \right] = 0 $

Así es como se reformula a la forma SL. Espero que esto ayude y puedas trabajar los detalles para tu problema.

Answer 3

Su ecuación puede escribirse como $$ -xy''-y'+\frac{2}{x}y=\lambda\sigma(x)y \\ -x^2y''-xy'+2y=\lambda \sigma(x)xy. $$ Si se le permite elegir $\sigma(x)$ elegiría $\sigma(x)x=1$ . Entonces tienes la ecuación de Euler, que puedes resolver explícitamente: $$ x^2y''+xy'+(2-\lambda)y=0,\;\;\; y'(1)=y'(2)=0. $$ Las soluciones donde $y'(1)=0$ se puede normalizar mediante una condición añadida como $y(1)=1$ por ejemplo. Entonces se puede resolver para $\lambda$ para lo cual $y'(2)=0$ y que determina los valores propios $\lambda$ .