Relaciones algebraicas - Ecuaciones cuadráticas

Question

Estoy teniendo dificultades con la siguiente pregunta:

Si $x$ es real y $p=3(x^2 + 1)/(2x-1)$ entonces demuestre que $p^2 - 3(p+1)\geq 0$ .

No sé cómo abordar esta cuestión.

Gracias por su ayuda. :)

Answer 1

La expresión dada puede reescribirse como $$3x^2-2px+(3+p)=0.$$ Para que esto tenga soluciones reales, necesitamos que el discriminante sea no negativo, es decir $$4p^2-12(3+p) \geq 0.$$ Esto es lo mismo que $p^2-3(p+3) \geq 0.$

De esto se deduce también su desigualdad.

Answer 2

Si $$ p=3\frac{x^2+1}{2x-1} $$ entonces $$ \begin{align} &p^2-3p-3\\[6pt] &=9\frac{x^4+2x^2+1}{4x^2-4x+1}-9\frac{2x^3-x^2+2x-1}{4x^2-4x+1}-3\frac{4x^2-4x+1}{4x^2-4x+1}\\ &=3\frac{3x^4-6x^3+5x^2-2x+5}{4x^2-4x+1}\\ &=\frac3{(2x-1)^2}\big[3(x^2-x)^2+(x-1)^2+x^2+4\big]\\[3pt] &\ge0 \end{align} $$

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Análisis adicional

Me he dado cuenta de que $x^2-x$ y $(x-1)^2+x^2$ ambos tienen un mínimo en $x=\frac12$ Por lo tanto, podemos escribir todo en términos de $x-\frac12$ : $$ \begin{align} &\color{#C00000}{3(x^2-x)^2}+\color{#00A000}{(x-1)^2+x^2+4}\\ &=\color{#C00000}{3((x-\tfrac12)^2-\tfrac14)^2}+\color{#00A000}{2(x-\tfrac12)^2+\tfrac92}\\ &=\color{#C00000}{3(x-\tfrac12)^4-\tfrac32(x-\tfrac12)^2+\tfrac3{16}}+\color{#00A000}{2(x-\tfrac12)^2+\tfrac92}\\ &=3(x-\tfrac12)^4+\tfrac12(x-\tfrac12)^2+\tfrac{75}{16}\\ &=\tfrac3{16}(2x-1)^4+\tfrac2{16}(2x-1)^2+\tfrac{75}{16} \end{align} $$ Por lo tanto, utilizando los resultados de arriba, $$ p^2-3p-3=\frac3{16}\left[3(2x-1)^2+2+\frac{75}{(2x-1)^2}\right]\\ $$ Desde $3(2x-1)^2\cdot\dfrac{75}{(2x-1)^2}=225$ tenemos que $$ 3(2x-1)^2+\dfrac{75}{(2x-1)^2}\ge2\sqrt{225}=30 $$ con igualdad si y sólo si $3(2x-1)^2=\dfrac{75}{(2x-1)^2}$ eso es, $x=\dfrac{1\pm\sqrt5}2$ .

Por lo tanto, $$ p^2-3p-3\ge6 $$ con igualdad si y sólo si $x=\dfrac{1\pm\sqrt5}2$ .

Answer 3

La forma "dura" de abordarlo: evaluar la condición dada a partir de la definición de $p$ . $$p^2 - 3(p+1)= (3\frac{x^2 + 1}{2x-1})^2+3(3\frac{x^2 + 1}{2x-1}+1)=\frac{9x^4-18x^3+15x^2-6x+15}{(2x-1)^2}\ge0.$$

Al trazar el polinomio en el numerador, se ve que no tiene ninguna raíz real. Desgraciadamente, tienes que demostrarlo. Encuentra el mínimo cancelando la primera derivada: $$36x^3-54x^2+30x-6=0.$$ Trazando de nuevo, se ve una única raíz en $x=\frac12$ . El valor del mínimo es positivo, $ \frac{225}{16}$ .

Para que el rigor sea total, hay que demostrar que la derivada no tiene otra raíz. Esto se hace a partir de las fórmulas de Cardano.