En base al comentario he editado la pregunta.
Dejemos que $S \subset \mathbb{R}^n$ sea un conjunto convexo simétrico acotado.
Pregunta: ¿Cómo demostrar que si $S$ está cerrado, entonces $\bigcap_{k=1}^{\infty}(1+\frac{1}{k})S$ es igual a $S$ .
No sé cómo utilizar la propiedad cerrada para demostrar este lema.
Gracias por cualquier ayuda.
Si $S$ es no vacía, simétrica respecto al origen y convexa, entonces es fácil ver que $0\in S$ . Ahora bien, si $U$ es convexo y $0\in U$ entonces $U \subset \alpha U$ para todos $\alpha\geqslant 1$ , así que claramente $S$ está contenida en la intersección (independientemente de $S$ que está cerrado).
Por otro lado, si $x\in\bigcap_{k=1}^{\infty}(1+\frac{1}{k})S$ entonces $x\in (1+\frac{1}{k})S$ para cada $k\geqslant 1$ . Esto significa que para cada $k\geqslant 1$ hay algo de $x_k \in S$ con $x = (1+\frac1k)x_k$ .
En otras palabras, la secuencia $(x_k)_{k\geqslant 1}$ dado por
$$x_k = \left(\frac 1{1+\frac1k}\right)x = \left(\frac{k}{k+1}\right)x$$
se encuentra en $S$ .
Ahora, ¿converge esta secuencia? Y si $S$ está cerrado, ¿qué más se puede decir...?
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