Distribución del cuadrado inverso de una variable aleatoria normal no estándar multiplicada por una constante

Question

Es una situación algo complicada y perdón por mi redacción, pero es mi primera vez aquí. Supongamos que tengo una variable aleatoria normal $X$ ~ $N( \mu, \sigma^2)$ que representa algún efecto verdadero. A continuación, intento estimar la media de estos efectos utilizando las estimaciones de unos pocos ensayos (a veces con poca potencia) -> Meta-Análisis, y hago la siguiente transformación:

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$Y$ = $c/X^2$ , donde $c$ es una constante $> 0$ y $Y$ debe ser $> 0$ y por lo tanto x>0. Como nota al margen, $\sigma$ es, por ejemplo, el 90% de $\mu$ y se divide por el cuantil del 97,5% de la distribución normal estándar. ¿Qué distribución tiene $Y$ ? Pero, sobre todo, ¿cómo puedo determinar/estimar la tendencia central de una muestra a partir de esta distribución resultante?

Lo que he descubierto hasta ahora, sólo cuadrando que $X$ daría como resultado una distribución chi-cuadrado no central con un parámetro de no centralidad y entonces sólo hacer la inversa (¿tal vez?) y seguir sin saber la tendencia central. También con ese 90%- $\sigma$ , tengo unas x<0 y con x muy pequeñas obtengo una cola super larga (que no refleja ninguna realidad ya, es sólo un número teórico). Probado con $\mu=6$ y $\sigma=2.76$ c=11128,6 y 3 ensayos con una potencia del 99%, 80% y 10% según el tamaño del ensayo en una simulación con n=10000.

He trabajado con la Mediana, pero parece que no coge bien el centro.

Answer 1

La descripción de su experimento es algo confusa, así que me limitaré a responder a la pregunta sobre las distribuciones.

Con su anotación, $X/\sigma \sim N(\mu/\sigma,1)$ así que el cuadrado de eso, $(X/\sigma)^2$ tiene una distribución chisquare no central con 1 df (grado de libertad) y parámetro de no centralidad $\lambda=(\mu/\sigma)^2$ .

Entonces podemos escribir $Y=c/X^2 = \frac{c/\sigma^2}{(X/\sigma)^2}$ por lo que se distribuye como una constante ( $c/\sigma^2$ ) por una rv (variable aleatoria) de chi-cuadrado inverso con 1 df y el parámetro de no centralidad $\lambda$ .

Encontrarás implementaciones de la chi-cuadrado no central en muchos lugares, así que será útil expresar la densidad (cdf, ...) para la chi-cuadrado no central inversa usando eso. Sea $U$ sea un rv no negativo y $t>0$ la densidad de $U$ es $f$ . Entonces encontramos la densidad de $1/U$ como $f_{1/U}(t)=f_U(1/t)/t^2$ para que puedas aplicarlo.

En R existe una implementación (en CRAN) en el paquete invgamma . Pero es muy fácil escribir uno mismo:

dinvchisq  <-  function(x,df,ncp=0,log=FALSE) {
    res <- dchisq(1/x,df,ncp,log=TRUE) - 2*log(x)
    if(log) res else exp(res)
}