¿Cómo se determinan las constantes del perfil NFW?

Question

Estoy tratando de entender el perfil NFW y cómo causa una curva de rotación plana. $$ \rho(r) = \frac{\rho_0}{\frac{r}{r_s}\left(1+\frac{r}{r_s}\right)^2} $$

Creo que he entendido por qué causa una curva de rotación plana. La densidad parece ser inversamente proporcional a $r^3$ cuando $r >> r_s$ lo que lleva a un aumento lineal de la masa en proporción al radio, ya que el volumen es proporcional a $r^3$ .

Sin embargo, me he dado cuenta de que no puedo demostrar mi afirmación anterior, ya que no entiendo realmente lo que $r_s$ y $\rho_0$ son. Por eso esperaba ver un ejemplo numérico para entender las relaciones.

Mientras buscaba uno me encontré con este respuesta de Kyle Oman aplicando el perfil NFW para calcular la densidad de materia oscura en el Sistema Solar y me preguntaba de dónde había sacado su $r_s$ y $\rho_0$ valores o cómo los calcula uno mismo.

Answer 1

¿Por qué importa cuáles son sus valores? $r_s$ es alguna longitud de escala característica del sistema donde se pasa de un $r^{-1}$ dependencia a un $r^{-3}$ dependencia y $\rho_0$ es una constante de normalización que garantiza que la masa total dentro de un determinado radio es correcta.

Los valores de estas constantes se obtienen ajustando la función a un perfil de densidad observado o modelando la curva de rotación de una galaxia.

Si $$ \rho(r) = \frac{\rho_0}{\frac{r}{r_s}(1+\frac{r}{r_s})^2} $$

Entonces la masa de una cáscara de espesor $\Delta r$ en el radio $r$ es $$\Delta M = \frac{\rho_0}{\frac{r}{r_s}(1+\frac{r}{r_s})^2}\ 4\pi r^2 \Delta r\ .$$

Cuando $r \ll r_s$ $$\Delta M \sim 4\pi r_s r \rho_0\ \Delta r$$ y mediante la integración de cáscaras, la masa total dentro del radio $r$ aumenta a medida que $r^2$ .

Cuando $r\gg r_s$ $$\Delta M \sim 4\pi \frac{r_s^{3}}{r} \rho_0\ \Delta r$$ y la masa total dentro de $r$ aumenta a medida que $\ln r$ .

Los valores típicos encontrados para el halo oscuro de la Vía Láctea son $r_h \simeq 12$ kpc y $\rho_0 \simeq 10^{-2}$ $M_{\odot}/{\rm pc}^{3}$ . Véase, por ejemplo Sofue (2012) que hace exactamente el cálculo que Kyle Oman hizo en la pregunta de Physics SE a la que te refieres.