¿Implica la Ley de Coulomb, con la Ley de Gauss, la existencia de sólo tres dimensiones espaciales?

Question

La Ley de Coulomb establece que la caída de la fuerza electrostática es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado de las cargas.

La ley de Gauss implica que el flujo total que atraviesa una superficie que encierra completamente una carga es proporcional a la cantidad total de carga.

Si imaginamos un mundo bidimensional de personas que conocieran la ley de Gauss, imaginarían una superficie que encierra completamente una carga como un círculo plano alrededor de la carga. Integrando el flujo, encontrarían que la fuerza electrostática debe ser inversamente proporcional a la distancia de las cargas, si la ley de Gauss fuera cierta en un mundo bidimensional.

Sin embargo, si observan un $\frac{1}{r^2}$ caída, esto implica que un mundo bidimensional no es todo lo que hay.

¿Es correcto este argumento? ¿Es cierto que el $\frac{1}{r^2}$ ¿Implica que sólo hay tres dimensiones espaciales en las que vivimos?

Quiero asegurarme de que esto es correcto antes de contárselo a mis amigos y que se rían de mí.

Answer 1

Sí, absolutamente. De hecho, la ley de Gauss se considera generalmente como la ley fundamental, y la ley de Coulomb es simplemente una consecuencia de ella (y de la ley de la fuerza de Lorentz).

En realidad, se puede simular un mundo 2D utilizando una carga de línea en lugar de una carga de punto, y tomando una sección transversal perpendicular a la línea. En este caso, se encuentra que la fuerza (o campo eléctrico) es proporcional a 1/r, no a 1/r^2, por lo que la ley de Gauss sigue siendo perfectamente válida.

Creo que se puede llegar a la misma conclusión a partir de experimentos realizados en láminas de grafeno y similares, que son incluso mejores simulaciones de un verdadero universo 2D, pero no conozco una referencia específica para citarla.

Answer 2

Yo diría que sí.

En realidad, algunas teorías que explican la gravedad cuántica utilizan también este razonamiento: la gravedad es una interacción muy débil a nivel cuántico porque se "filtra" en otras dimensiones, no observables a nuestra escala, pero que están presentes a esta escala.

Las herramientas matemáticas son diferentes, pero si se piensa en la ley de Gauss se puede imaginar una explicación de por qué hay dimensiones adicionales en estas teorías.

Answer 3

Yo diría que es más bien al revés. La ley de Gauss, junto con el hecho de que vivimos en un mundo con 3 dimensiones espaciales, exige que la fuerza entre cargas decaiga como 1/r^2. Pero hay análogos perfectamente consistentes de la electrostática en mundos con 2 o más dimensiones espaciales, que tienen cada uno su propia "ley de Coulomb" -- con un diferentes la caída de la fuerza con la distancia.

Más aún, es mucho más obvio que vivimos en un mundo con 3 dimensiones espaciales (¡mira a tu alrededor!) que que la fuerza entre las cargas tiene una ley inversa al cuadrado. Así que, tanto empíricamente como teóricamente, el número de dimensiones espaciales es más fundamental que la ley de la fuerza.

Answer 4

En términos generales, la teoría de las (super)cuerdas considera dimensiones espaciales adicionales que están "envueltas" (tienen topologías inusuales de alta curvatura, creo). Ahora bien, es una completa especulación, pero si estas dimensiones existen, el electromagnetismo no se extendería mucho en esas dimensiones, por lo que parecería que sólo hay tres dimensiones todavía (a una muy buena aproximación).

Dicho esto, su argumento es más o menos sólido (aunque está lejos de ser a prueba de balas). Desde luego, sugiere que no vivimos en un mundo en 2D y que las posibles dimensiones adicionales son comparativamente muy pequeñas.

Answer 5

Sí. De hecho, el flujo no será igual a la densidad de carga en otras dimensionalidades sin una modificación similar de la ley de Coulomb según la dimensionalidad.

En particular, en $d$ dimensiones, tenemos que

$${\underbrace{\int \int \cdots \int}_{d}}_{\partial R} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = K \rho$$

sobre el límite de alguna región espacial $R$ sólo si el campo de una carga puntual (que se integra para dar el campo de una distribución de carga) tiene la forma

$$F_E \propto \frac{q_1 q_2}{r^{d-1}}$$

donde $\rho$ se mide como carga por unidad $d$ -volumen.

Así que la ley de Gauss restringe - pero técnicamente no determinar - Ley de Coulomb. Para determinarla, se necesitan algunas suposiciones adicionales sobre la simetría y la homogeneidad del espacio y/o las leyes electromagnéticas además de la ley de Gauss, o algunas de las restantes ecuaciones de Maxwell (y esta generalización a dimensionalidades más altas es más difícil porque implican rizos. En dimensionalidades más altas estos se convierten en polivectores, creo, como en el álgebra exterior), en particular al menos $\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$ para la electrostática (en 3D).

Además, curiosamente, creo que no hay átomos estables ligados en dimensiones $d > 3$ con las leyes electromagnéticas habituales. En particular, el $r^{-3}$ La ley de Coulomb para la 4D, y sus análogos superiores, conducen a que la ecuación de Schrodinger tenga niveles de energía no limitados por debajo, lo que significa que incluso la mecánica cuántica que conocemos no salvará a un átomo del colapso. Efectivamente, las paredes del pozo de potencial son demasiado empinadas. Un universo en 4D tendrá que operar de alguna otra manera sobre tipos de leyes físicas bastante diferentes para que admitan materia estable, y mucho menos vida, aunque tenga algunas fuerzas similares a nuestro electromagnetismo.