Reducción de LSZ frente a la hipótesis adiabática en el cálculo perburbativo de campos interactivos

Question

Por lo que sé, hay dos formas de construir las reglas de cálculo en la teoría de campos perturbativa.

La primera (en el libro de QFT de Mandl y Shaw) es pretender estados de entrada y salida como estados libres, calculando entonces $$\left\langle i \left| T \exp\left(-i \int_{-\infty}^{\infty} H_{int} dt \right) \right| j \right\rangle $$ por el teorema de Wick, bla, bla, bla. El problema es que el campo/partícula siempre tiene autointeracción, los estados de entrada y salida no son estados libres. Mandl y Shaw (rev. edi. p 102) utilizaron entonces un argumento heurístico, que suponiendo que la interacción se enciende adiabáticamente, $$H_{int}(t) \rightarrow H_{int} (t) f(t)$$
tal que $f(t) \rightarrow 0$ , si $t \rightarrow \pm \infty$ .

Uno puede considerar que esto es un juego de manos. En ciertas circunstancias, como el teorema de Gell-Mann Low http://en.wikipedia.org/wiki/Gell-Mann_and_Low_theorem la conmutación adiabática puede probarse incluso de forma no perbúrica.

El segundo enfoque, por ejemplo la QFT de Peskin y Schroeder, consiste en comenzar con la función de correlación, y luego utilizar la reducción LSZ para conectar la matriz S y la función de correlación. En la función de correlación, se utiliza una prescripción épsilon de tiempo imaginario. $$ | \Omega \rangle = \lim_{T \rightarrow \infty ( 1 - i \varepsilon ) } ( e^{-iE_0 T} \langle \Omega | 0 \rangle^{-1} ) e^{-iHT} | 0 \rangle $$

donde $\Omega$ y $0$ son las vacuas de las teorías interactivas y libres, respectivamente.

Mi pregunta es sobre la comparación de estos dos enfoques. Me parece que, a fin de cuentas, los resultados finales de los cálculos realizados con ambos enfoques son idénticos. Se puede decir que la reducción de LSZ es más física, ya que no hay un interruptor de encendido/apagado en la naturaleza. También se puede decir que el tiempo es un número real en la naturaleza. De todos modos, no hay tiempo imaginario. Y la conmutación adiabática tiene una ventaja potencial en el aspecto no perturbador.

¿Hay algún razonamiento más profundo para comparar estos dos enfoques? Lo siento si esta es una pregunta basada en la opinión.

Answer 1

Los estados de entrada y salida son estados libres, y la definición de la matriz S de Mandl y Shaw es perfectamente válida (con una noción adecuada de Texp). Es la que se utiliza en la física matemática rigurosa; véase el tratado de Reed y Simon. También es la que se deriva de la fórmula LSZ. Es la única manera de definir la matriz S de forma rigurosa.

El $+i\epsilon$ La prescripción también tiene una justificación rigurosa a través del teorema de Cauchy, que permite reescribir ciertas integrales deformando la trayectoria de integración en el dominio complejo. y representar funciones integrables cuadradas como valores límite de funciones en un espacio complejo de Hardy.

Las aproximaciones realizadas son, en cambio, en la forma en que se justifica el uso de la matriz S para describir el efecto de las colisiones en tiempos finitos. Aquí la idea es que las partículas (más precisamente los estados ligados del Hamiltoniano después de separar el movimiento del centro de masa) se comportan aproximadamente libres durante un tiempo suficientemente corto (más pequeño que el de mover una longitud de camino libre medio), y el tiempo de colisión es corto comparado con ese caso. Si se cumplen estas condiciones está justificado aproximar las partículas por partículas libres entrantes (pensadas desde el infinito), tratando la colisión como una que se extiende desde el tiempo $-\infty$ al tiempo $+\infty$ , resultando en partículas libres de salida en tiempos infinitos, que pueden ser devueltas (por el operador de Moeller) a una en tiempo finito significativamente mayor que el tiempo de colisión pero significativamente menor que el necesario para mover una longitud de trayectoria media libre.

Para hacer esto riguroso se necesitan suposiciones adicionales (por ejemplo, condiciones que coincidan con las de la zona de colisión de un acelerador de partículas, o una suposición de gas diluido), en cuyo caso se pueden derivar límites de error.

Cuando no se cumplen estas condiciones, la imagen de las partículas se rompe por completo, debido al teorema de Haag, que dice que el espacio de Hilbert interactivo no puede ser el mismo que el espacio de Hilbert asintótico. En su lugar, hay que utilizar una imagen más heurística de cuasipartícula (partícula vestida), como en la física del estado sólido para los fonones.

Answer 2

No son comparables. En realidad, LSZ es la justificación de la derivación anterior, pero la primera es más fácil de introducir. No hay que tomar el tiempo imaginario en sentido físico. Se trata de un método computacional para regularizar los infinitos y está perfectamente bien.