Probabilidad de la distribución de Poisson

Question

Jimmy Butler (escolta de los Minnesota Twolves) hace aproximadamente p =30% de sus intentos de tiro de tres puntos. En cualquier partido, el número de tiros de tres puntos que intenta es una variable aleatoria Z cuya distribución es aproximadamente Poisson con media = 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en un partido aleatorio haga exactamente 2 tiros de tres puntos?

Puedo encontrar fácilmente la probabilidad de hacer n tiros dada la distribución, pero tengo problemas para encontrar la probabilidad de hacer n tiros, ya que p = .3, y 6,6666 tiros intentados no es una entrada válida para la fórmula de la distribución de Poisson.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Se trata de un problema de mezcla de distribución. Dado el número de disparos $n$ que intenta, el número de tiros que hace $m\sim B(n,p)$ se rige por una distribución binomial con $p=0.3$ . Entonces el número de disparos $n\sim\mbox{Poisson}(\lambda)$ os intentos se rigen por una distribución de Poisson con $\lambda=5$ . El objetivo es encontrar la distribución mixta para $m$ y, en particular, la probabilidad de $P(m=2)$ . Pruébalo.

Pista: demuestre que $\,m\sim\mbox{Poisson}(p\lambda)\,$ después de la mezcla.

Answer 2

Dejemos que $N$ sea el número de disparos que realiza y $M$ sea el número de tiros que hace.

Lo que te resulta fácil de calcular es $P(N=n).$

También deberías ser capaz de anotar la probabilidad que hace $m$ disparos dado que toma $n$ ya que sabe que el $n$ son ensayos independientes con probabilidad $p=0.3.$ Esta es la distribución condicional de $M$ dado $N$ , denotado como $P(M=m\mid N=n).$

Usted quiere $P(M=m),$ la distribución del número de disparos que realiza, que puede obtenerse a partir de las cantidades anteriores mediante la ley de la probabilidad total como $$ P(M=m) = \sum_{n=0}^\infty P(M=m\mid N=n)P(N=n).$$