Problema del valor esperado de 2 valores

Question

Una cuenta bancaria tiene 1000 dólares y obtiene un 5% de interés diario. Cada día la cuenta tiene $0.405$ probabilidad de perder $20$ dólares.

¿Cuál es la media de la cantidad de dinero en la cuenta después de 2 días?

Pensé en calcular $((1000-20*0.405)*1.05-20*0.405)*1.05$

Pero creo que puede ser un error porque la probabilidad cambia dependiendo del día anterior. Quiero decir que la probabilidad de perder en ambos días es $0.405^2$ Un día se pierde y el otro no se pierde. $0.405*(1-0.405)$ a mi entender, por lo que tendría que tenerlo en cuenta de alguna manera, pero no sé cómo.

Gracias.

Answer 1

Hay cuatro posibilidades.

1. Pierde 20\$ el primer día pero no el segundo
2. Pierde 20\$ el segundo día pero no el primero
3. Pierde 20\$ en ambos días
4. No pierde nada en los dos días

Calcule el importe en cada caso, $A_1, A_2, A_3$ y $A_4$ . Ahora, para obtener el valor medio, basta con multiplicar cada cantidad por su probabilidad de que ocurra. $$A = A_1\cdot 0.405\cdot (1-0.405) + A_2\cdot (1-0.405)\cdot 0.405 + A_3\cdot0.405\cdot0.405 + A_4(1-0.405)(1-0.405)$$

Answer 2

Dos días son un horizonte pequeño. La parte aleatoria está modelada por el árbol binomial:

                        * [L] (1000-20)*r - 20 ... and finally ((1000-20)*r -20)*r
                      /
       * [L] 1000-20  - * [K] (1000-20)*r      ... and finally (1000-20)*r*r
      /
1000 *                 * [L] 1000 * r - 20     ... and finally (1000*r -20)*r
      \              / 
       * [K] 1000    - * [K] 1000 * r          ... and finally 1000*r*r

con [L] utilizado para LOSE y [K] para KEEP . Sea $p$ sea la probabilidad de perder, es decir, de que el [L] ramificaciones, y $q$ la probabilidad complementaria.

Arriba, la tasa de multiplicación es (EDIT: ajustado después de la edición en el OP) $$ r = 1 + 5\% =1.05\ . $$ La cantidad media de dinero después de dos días es así: $$ \begin{aligned} M &= p^2\cdot((1000-20)r-20)r +pq\cdot(1000-20)r^2 \\ &\qquad\qquad +pq\cdot(1000r-20)r +q^2\cdot 1000r^2 \\ &=1000r^2-20p^2(r+r^2)-20pq(r+r^2) \\ &=1000r^2-20p(r+r^2)(p+q) \\ &=1000r^2-20p(r+r^2) \ . \end{aligned} $$

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Más tarde EDITAR:

Otra forma de pensar en esto es como en el OP. El valor medio después de dos días es por linealidad $1000r^2$ más el valor medio de la posible pérdida.

• La probabilidad de perder $20\$$ en el primer día es $p$ y la media correspondiente es $p\cdot r^2\cdot 20\$$ , utilizando la convención de que "primero perdemos y luego utilizamos la tarifa diaria".

• La probabilidad de perder $20\$$ en el segundo día es $p$ de nuevo, y la media correspondiente es $p\cdot r\cdot 20\$$ utilizando la misma convención.

Por lo tanto, la media, calculada como en el PO llega al mismo valor: $$1000 r^2 -20pr^2-20pr\qquad\text{(dollars)}\ .$$