Consideremos la relación R dada por la divisibilidad sobre enteros positivos que es xRy <-> x|y

Question

Consideremos la relación R dada por la divisibilidad sobre enteros positivos que es xRy <-> x|y ¿Es esta relación reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva?

Entiendo que es reflexivo y transitivo pero me confundí un poco entre simétrico y antisimétrico.

Porque la solución que tengo para la mención antisimétrica es Verdadera dado que x|y = 1 e y|x = 1, por lo tanto x = y tiene el mismo valor. así que me preguntaba si uso el argumento de antisimétrico en simétrico, ¿no hará que todo sea simétrico también?

Answer 1

A partir de la definición de la wikipedia, basta con demostrar que si $a|b$ y $b|a$ entonces $a=b$ . Sólo hay que ampliar estas hipótesis como $a=mb$ y $b=na$ para algunos $n,m\in\mathbb{N}$ y observe que ambos $n=m=1$ . Suponiendo que se trabaje con $\mathbb{N}$ . Esto demuestra que su relación es antisimétrica.

Demostremos que no es simétrico sólo porque podemos. Observa que $5|10$ pero $10\not|5$ Así que no es cierto en general que $aRb$ implica $bRa$ para cada $a$ y $b$ .