¿Existe una lista de campos de Galois? $GF(p)$ y su(s) generador(es) multiplicativo(s) conocido(s), $g$ ? Sé que el caso general de encontrar los generadores puede llevar mucho tiempo, especialmente para grandes $p$ pero me preguntaba si había una entrada en la OEIS u otro recurso. Estoy buscando específicamente primos del orden de 512 bits o más. Cuanto más grande, mejor.
Respuesta
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No es razonable esperar una mesa, que no cabe en el universo. A continuación le sugiero que busque primos de una forma especial, cuando encontrar un generador es mucho más simple.
Encuentra un par de primos $p$ y $q=2p+1$ (la palabra de moda prima de seguridad probablemente te dé resultados de búsqueda) Entonces modula el primo mayor $q$ cada elemento es de orden $1,2,p$ o $2p$ . Las únicas clases de residuos $x$ satisfaciendo $x^2\equiv1\pmod q$ son $x\equiv\pm1$ . Las clases de residuos de orden $p$ son exactamente los residuos cuadráticos. Por lo tanto, concluimos que modulo un primo seguro $q$ la clase de residuo de $a\not\equiv-1$ es una raíz primitiva si y sólo si es un no-residuo cuadrático módulo $q$ . Son rápidos de encontrar. La ley de reciprocidad cuadrática es tu amiga.
Para un pequeño ejemplo, considere $p=41$ , $q=83$ . Tenemos $83\equiv3\pmod5$ . Tres es un no-residuo cuadrático módulo cinco, por lo que la reciprocidad cuadrática nos dice que $5$ es un no-residuo cuadrático módulo $83$ . Porque $q=2p+1$ con $p$ un primo, el argumento anterior muestra que $5$ es una raíz primitiva módulo $83$ .
Me temo que no sé lo difícil que es encontrar un $(p,q=2p+1)$ par de primos (también conocido como Sophie Germain prima ). El piquete al azar podría ser lo suficientemente rápido en este rango.
