Orden máximo en un álgebra central simple

Question

Supongamos que $A$ es un álgebra central simple sobre un campo $F$ , $\mathcal{O}_F$ es un subringio integralmente cerrado de $F$ y supongamos $\mathcal{O}_F$ es noetheriano. Entonces un orden de $A$ es un $\mathcal{O}_F$ red de $A$ , estable bajo las operaciones de álgebra. En este caso, el orden máximo siempre existe( supongamos que dim $_F A$ es coprima al char de F). Mis preguntas:

¿Existe algún criterio no trivial para que una orden sea máxima? ¿Y cómo construir un orden maximal a partir de un orden dado? (Sólo conozco la existencia a partir de algún argumento del CAC)

De hecho, lo que realmente me preocupa es "por qué podríamos encontrar siempre un orden máximo estable bajo una involución dada en $A$ " ( Se equivoca con el ejemplo de Eisele ).

Entonces, ¿hay alguna afirmación similar (bajo alguna condición) que sea correcta? ( He oído hablar de ello antes... )

Gracias.

Answer 1

En cuanto a la parte de su pregunta sobre las involuciones.

No creo que siempre sea posible encontrar un orden máximo estable bajo una involución dada. Por ejemplo, tomemos $F=\mathbb Q$ , $A = \mathbb Q^{2\times 2}$ y la involución $$ \sigma: A \longrightarrow A: X \mapsto M\cdot X^\top \cdot M^{-1} $$ con $$ M=\left(\begin{array}{cc} 2&0\newline 0&1\end{array}\right) $$ Ahora bien, cualquier orden maximalista $\Theta$ en $A$ es conjugado con $\mathbb Z^{2\times 2}$ y, por lo tanto, todos los $\Theta$ -lattices en $\mathbb Q^{1\times 2}$ son de la forma $n\cdot L$ para la cúpula $n\in \mathbb Q$ y algunos fijo completo $\mathbb Z$ -lattice L en $\mathbb Q^{1\times 2}$ . Nótese que el determinante de una matriz base para $n\cdot L$ está bien definida hasta el signo (ya que dos matrices de base sólo se diferencian por un elemento de ${\rm GL}(2,\mathbb Z)$ ), y $\det(n\cdot L) = \pm n^2\cdot \det(L)$ .

En lo que sigue se asume $\Theta$ es un orden máximo tal que $\sigma(\Theta) \subseteq \Theta$ . Esto llevará a una contradicción.

Para cualquier $S\in{\rm GL}(2,\mathbb Q)$ podemos sustituir $M$ por $M' = S M S^{\top}$ , $\Theta$ por $\Theta'=S\Theta S^{-1}$ y $\sigma$ por $$ \sigma': A \longrightarrow A: X \mapsto M'\cdot X^\top \cdot M'^{-1} $$ Por lo tanto, supongamos que $\Theta'=\mathbb Z^{2\times 2}$ , $L'=\mathbb Z^{1\times 2}$ y $\sigma'(\Theta') \subseteq \Theta'$ . Nótese que el determinante de $M'$ será $2\cdot \det S^2$ que no es un cuadrado en $\mathbb Q$ .

Este es el problema: $L'\cdot M'$ no es de la forma $n\cdot L'$ ya que $\det M'$ no es un cuadrado en $\mathbb Q$ . Por lo tanto, $L'\cdot M'$ no puede ser estable bajo la acción de $\Theta'^\top = \Theta'$ . Por lo tanto, $$ L' \cdot M' \cdot \mathbb Z^{2\times 2} \neq L'\cdot M' $$ lo que implica $$ L' \cdot M' \cdot \mathbb Z^{2\times 2} \cdot M'^{-1} \neq L' $$ que te dice que $$ \sigma'(\mathbb Z^{2\times 2}) = M'\cdot \mathbb Z^{2\times 2} \cdot M'^{-1} \nsubseteq {\rm End}_{\mathbb Z}(L')=\mathbb Z^{2\times 2} $$ que es una contradicción (como $\Theta'=\mathbb Z^{2\times 2}$ se supone que es estable bajo $\sigma'$ ).