¿Cuál es la diferencia entre una función sobreyectiva y una continua?

Question

¿Cuál es la diferencia entre una función sobreyectiva y una continua? Si una función es suryectiva entonces toma todos los valores por lo que es continua y también si una función es continua entonces toma todos los valores entonces es suryectiva :( ?

Answer 1

Definición: Una función $f : X\to Y$ entre establece es surjective si para cada $y\in Y$ existe $x\in X$ tal que $f(x) = y$ . Esto significa que cada $y$ es golpeado por algo en $x$ en $f$ . Como ha dicho, esto significa $f$ toma todos los valores posibles.

Definición: Una función $f : (X,\tau_X)\to (Y,\tau_Y)$ entre espacios topológicos (¡no sólo conjuntos!) es continuo si para cada $U\in\tau_Y$ , $f^{-1}(U)\in\tau_X$ . Si se llaman conjuntos abiertos a los elementos de las topologías, se dice que la preimagen de un conjunto abierto es abierta. Esta definición generaliza la que se encuentra en las clases de cálculo ( $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua en $a\in\mathbb{R}$ si $f(a) = \lim_{x\to a}f(x)$ ).

Hay muchas diferencias entre estas definiciones. Por un lado, se puede hablar de que una función es sobreyectiva si el dominio y el codominio son simplemente conjuntos, pero no se puede hablar de que una función sea continua a menos que el dominio y el codominio sean espacios topológicos. Es fácil encontrar ejemplos de funciones que satisfacen cualquier combinación elegida de estas propiedades:

• Continua pero no surjetiva: Consideremos el mapa constante $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $f(x) = 0$ . Esto es continuo, pero muy lejos de ser surjetivo (por ejemplo, no $x$ satisface $f(x) = 1$ ).
• Surjetivo pero no continuo: Dejemos que $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ se define por $$ f(x) = \begin{cases} 1/x & \text{if }x\neq 0, \\ 0 & \text{if } x=0, \end{cases} $$ Esta función es sobreyectiva, pero no continua (hay "cosas malas" que ocurren en $0$ !).
• Continua y sobreyectiva: Dejemos que $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea la función de identidad; es decir $f(x) = x$ . $f$ es a la vez sobreyectiva y continua.
• No es continua ni subjetiva: Dejemos que $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea dada por $$ f(x) \begin{cases} 1 & \text{if }x\in\mathbb{Q}, \\ 0 & \text{if } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \end{cases} $$ Entonces $f$ no es continua ni suryectiva (la función salta por todas partes, y sólo alcanza los valores $0$ y $1$ ).

Answer 2

La función $f:[0,1]\to[0,1]$ definido por $$ f(x) = \begin{cases} 2x & \text{if }0\le x\le 1/2, \\ 2x-1 & \text{if } 1/2<x\le 1, \end{cases} $$ es sobreyectiva pero no continua.

La función $f:[0,1]\to[0,1]$ definido por $$ g(x) = \frac x {10} $$ es continua pero no suryente.

La función $x\mapsto x^2$ del conjunto de todos los números racionales hacia sí mismo es continua y no suryectiva, y ni siquiera toma todos los valores intermedios entre dos de sus valores: $1\mapsto 1$ y $2\mapsto 4$ pero ningún número racional entre $1$ y $2$ se asigna a $2$ que es un número racional entre $1$ y $4$ .

Supongamos que está considerando funciones del conjunto $\{1,2,3\}$ en el conjunto $\{1,2,3\}$ . Algunas de estas funciones son sobreyectivas y otras no, pero todas son continuas.

Answer 3

Una función $f: X \to Y$ toma elementos de $X$ como entrada y cuando tenga en entrada de $X$ , $f$ le da una salida en $Y$ . Puedes pensar en $f$ como "enviar" la entrada $x$ de $X$ a su salida $f(x)$ en $Y$ . $X$ se llama dominio de $f$ y $Y$ se llama codominio de $f$ .

Una función es surjective si cada elemento del codominio $Y$ tiene algún elemento del dominio $X$ que se le envía. Esta es una imagen de una función suryectiva con $X = \{ 1, 2, 3, 4\}$ y $Y = \{ D, B, C \}$ ( fuente ):

Una función es continuo en un punto $x \in X$ si para cada $\epsilon > 0$ Hay un poco de $\delta > 0$ tal que $|x - y| < \delta$ implica $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ . En cierto sentido, esto es decir que $f$ es continua en un punto $x \in X$ si algún punto "cerca" de x tendrá salida "cerca" $f(x)$ . Recuerde que $| a - b|$ puede interpretarse como la "distancia" entre $a$ y $b$ (si, por ejemplo, $a, b$ están en $\mathbb{R}$ ).

Consulta las otras respuestas para ver ejemplos de funciones que son continuas pero no suryentes, y de funciones que son suryentes pero no continuas. Espero que puedas ver en mis explicaciones anteriores que las ideas de "suryectiva" y "continua" no dependen la una de la otra.

Answer 4

La función es continua en un si $\lim\limits _{x\to a}f(x) = f(a)$ por definición. Por otro lado, la función $f:A \to B$ es suryectiva si el rango de f es el conjunto B. Por lo tanto, no hay relación entre la continuidad y la suryectividad