Una simple pregunta de combinatoria, una comprobación de cordura.

Question

Perdonen si les hago perder el tiempo a todos. Estoy revisando un conjunto de tareas, y estoy un poco confundido por las respuestas del manual de soluciones, y quiero una segunda opinión antes de encogerse de hombros como un error.

Piensa en los 25 jugadores de un equipo de béisbol profesional. En cualquier momento, hay 9 jugadores en el campo.

1. ¿Cuántos órdenes de bateo de 9 jugadores son posibles dado que el orden de bateo es importante?
2. ¿Cuántos órdenes de bateo de 9 jugadores son posibles dado que el bateador designado de las estrellas debe batear en el cuarto lugar del orden?
3. ¿Cuántos equipos de 9 jugadores son posibles bajo el supuesto de que la ubicación de los jugadores en el campo no es importante?

Estoy recibiendo:

1. ${25 \choose 9} = 2042975$
2. ${24 \choose 8} = 735471$
3. $\frac{25!}{(25-9)!} = 741354768000$

Sin embargo, en el manual de soluciones aparece:

1. $7.41\cdot 10^{11}$
2. $2.97 \cdot 10^{10}$
3. $2.04 \cdot 10^{6}$

¿Estoy cometiendo un error tonto y falto de sueño? Gracias por su tiempo.

Answer 1

Creo que hay que realizar dos pasos:

Paso 1. Seleccione un grupo de $9$ jugadores para salir al campo de un equipo de $25$ y hay $25 \choose 9$ formas de hacerlo.

Paso 2. El número de formas en que se puede realizar este paso es diferente en cada uno de los tres casos planteados en sus problemas. Por ejemplo, en el caso 2, hay $9!$ formas.

Por último, utilizamos el principio de la multiplicación y multiplicamos la respuesta del paso 1 por la del paso 2 para obtener la respuesta final.

Por lo tanto, sus respuestas deben ser las siguientes:

1. $${ 25 \choose 9} \cdot 9! = \frac{25!}{9! (25 -9)!} \cdot 9! = \frac{25!}{16!}.$$

2. $${ 24 \choose 8} \cdot 8! $$ ya que uno de los jugadores, el bateador designado de las estrellas, debe estar en el equipo de bateo y debe estar en el puesto 4.

3. $$ 25 \choose 9$$