Así que tengo esta ecuación diferencial: $$ \frac{\text{d}}{\text{d} \theta}u(\theta, E) = P(E)(1 - u^2)\sqrt{E + \gamma^2 \ln(1-u^2)} \tag{1} $$
Donde $E > 0$ , $P(E)$ es una función complicada, lo sé (si es absolutamente necesario, se puede asumir que $P(E) = \sqrt{E}$ ), $\gamma$ es una constante positiva, y $u(0, E) = 0$ . Además, esta ED está claramente definida sólo para $u\leq \sqrt{1-\exp(-E/\gamma^2)}$ , por lo que hay algo de $\theta_{\text{max}}$ más allá de lo cual $u$ no se puede integrar. Lo que quiero hacer es generalizar $u$ para incluir la posibilidad de que $E$ es complejo. Nunca he tenido que hacer esto antes, pero parece que si escribo $u(\theta, E) = \text{Re}(u) + i \text{Im}(u)=v(\theta, E) + i w(\theta, E) = v + i w$ junto con $P(E) = P_{R} + iP_{I}$ Puedo simplemente astillar el lado derecho de $(1)$ hasta que pueda escribirlo como $f_{R}(v, w) + i f_{I}(v, w)$ y entonces tendría que resolver simultáneamente $\text{d}_{\theta}v = f_{R}(v, w)$ y $\text{d}_{\theta}w = f_{I}(v, w)$ .
En principio eso no es un problema con el uso astuto de las coordenadas polares para tratar la raíz cuadrada, pero hay algunas cosas dudosas sobre ese procedimiento. Por un lado, necesitaba $u\leq \sqrt{1-\exp(-E/\gamma^2)}$ antes, ¿se traslada al caso complejo? Probablemente no, porque la única razón por la que está ahí es para evitar que los números imaginarios aparezcan en el caso real. Supongo que lo que quiero saber es si lo que he descrito anteriormente es lo que debería hacer, y cómo saber en qué condiciones son válidos los resultados de ese procedimiento.
