Dada una función $1/\sqrt{x^2 -k^2}$ donde k es una constante con una pequeña parte imaginaria, ¿cómo se construye una aproximación racional? Estoy interesado en el L_p (p=2 o $\infty$ ) norma de que la diferencia sea pequeña en la línea real. Tanto la aplicación teórica como la práctica son de interés.
Respuesta
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sdfwer
Puntos
13
Mediante la traslación y el escalado, podemos suponer que WLOG $k = i$ es decir, su función es $1/\sqrt{x^2 + 1}$ . Además, por simetría podemos suponer que la función de aproximación es par. Así que tomando $x^2 = t$ queremos aproximar $1/\sqrt{t+1}$ por funciones racionales de $t$ en $[0,\infty)$ .
Ahora el {\tt minimax} de Maple puede aproximar por funciones racionales, pero requiere un intervalo acotado. Así que mapeamos $[0,\infty)$ a $[0,1]$ por $1/(t+1) = s$ . Por lo tanto, tomamos $f(s) = 1/\sqrt{1/s} = \sqrt{s}$ en $[0,1]$ . Ahora, por ejemplo, para una mejor aproximación uniforme de la misma mediante polinomios de grados $5$ en $[0,1]$ tomamos
g:= numapprox:-minimax(sqrt(s),s=0..1,5,1,'maxerror');
Debido a un posible fallo, esto produce un error en Maple 17. En Maple 15 obtuve
$$ g := 0.0278445029+(4.753636971+(-20.64608236+(47.77480263+(-49.59144735+18.70909011 s)s)s)s)s$$
con un error máximo de $ 0.02784459798$ . Sustituir $s = 1/(1+x^2)$ para obtener una función racional de $x$ aproximando $1/\sqrt{1+x^2}$ en $(-\infty,\infty)$ con este mismo error.
